Шкала попарных сравнений Саати

2) оценка согласованности мнений экспертов с целью определения возможности использования полученных результатов. Для этого вычисляют коэффициенты вариации

где w_ij(l) - элементы матрицы W(l), полученной от l-го из z экспертов; - их усредненные значения. Согласованность считают удовлетворительной при " ij и хорошей при " ij. В случае неудовлетворительной согласованности экспертам предлагается критически оценить результаты сравнений территорий и, при необходимости, внести коррективы. После этого повторяется обработка вновь заполненных матриц попарных сравнений и оценивается согласованность.

В результате экспертного оценивания получим z матриц попарных сравнений, которые в общем случае не являются транзитивными.

Обработка матриц попарных сравнений. В качестве весов, полученных в результате экспертного оценивания, принимают компоненты максимального собственного вектора матрицы попарных сравнений W, для вычисления которых используют точный и приближенный способы.

Точный способ. Пусть - максимальный собственный вектор матрицы W. С целью вычисления его компонент решим уравнение

, (14)

где - собственное число матрицы W.

Перепишем (14) в координатной форме:

. (15)

С учетом того, что при , представим (15) в виде системы однородных уравнений:

, (16)

или, в матричной форме, , где - единичная матрица -го порядка. Известно, что система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение только в случае, когда определитель соответствующей матрицы равен нулю:

(17)

Разложив этот определитель, получим характеристическое уравнение -й степени относительно . Решение этого уравнения даст значений . Затем необходимо найти компоненты собственного вектора матрицы , соответствующего , для чего требуется решение системы однородных уравнений .

Пример 1. Пусть имеется матрица

попарных сравнений трех территорий. Определим компоненты максимального собственного вектора матрицы.

Решим уравнение (14) для в общем виде, для чего в соответствии с (5.16) представим его в виде системы однородных уравнений

(18)

Далее из уравнения (17) определим . Раскрывая определитель, получим:

(19)

Пусть . Тогда уравнение (19) принимает вид неполного кубичного уравнения

.

Его корни определяются по формулам

, (20)

где .

Анализ (19) показывает, что при невыполнении условия транзитивности матрицы и , а при выполнении этого условия и . Это соответствует утверждению о том, что для идеальной матрицы имеет место равенство , а для нетранзитивной матрицы .

Уравнение (19) при имеет один действительный корень и два сопряженных комплексных корня или при три действительных корня, по крайней мере два из которых будут равны.

Подставляя в (18) элементы матрицы , получим неполное кубичное уравнение . Обозначив , по (20) найдем: ; . Следовательно, . Подставив значение максимального собственного числа матрицы в (19), найдем компоненты максимального собственного вектора, нормированные значения которых и есть значения степеней принадлежности территорий выбранному нечеткому множеству: .

Необходимо отметить, что при попарных сравнениях четырех и более территорий приведенный способ вычисления максимального собственного вектора матрицы становится сложным для практической реализации.

Приближенный способ. Введем вектор

, (21)

компоненты которого характеризуют вес территорий, где - номер шага алгоритма. Тогда нормированный вектор определяется по формуле

, (22)

где - сумма компонент вектора .

Если - неразложимая матрица, то процедура (22) сходится, так как при , а . Вычисление компонент максимального собственного вектора осуществляют до достижения заданной точности .

Пример 2. Решим задачу примера 1 приближенным способом при . Результаты представлены в табл. 9.

Таблица 9

Значения компонент нормированного собственного вектора

qi	k
q1
q2
q3

Каждая клетка этой таблицы содержит два числа: в числителе - , в знаменателе - . Требуемая точность вычислений достигается на четвертом шаге итераций. Следовательно, с точностью компоненты собственного вектора матрицы принимают следующие значения: ; ; . Приведенный алгоритм приближенных вычислений сравнительно легко реализуем на ЭВМ и позволяет путем увеличения числа итераций достичь любой заданной точности вычислений относительных весов территорий.

При удовлетворительной согласованности мнений экспертов определяются степени принадлежности территорий нечеткому множеству , значения которых равны усредненным (или вычисленным с учетом компетентности экспертов) значениям компонент максимального собственного вектора матриц попарных сравнений, нормированных на единицу: m_A(q_j)=q_j/q₁.

Методика получения информации об относительной опасности территорий, основанная на рассмотренной нечеткой модели, состоит в следующем:

выбор сравниваемых территорий;

выбор экспертов;

выбор нечеткой переменной, наилучшим образом описывающей опасность территорий;

вычисление степеней принадлежности территорий нечеткому множеству, смысл которого формализован выбранной нечеткой переменной.

Последовательность операций при этом состоит в следующем:

вычисление относительных весов территорий на основе метода попарных сравнений с количественной оценкой предпочтения;

вычисление степеней принадлежности территорий нечеткому множеству.

Вычисление относительных весов территорий производится в следующей последовательности:

выставление оценок парам территорий членами экспертной группы (заполнение матриц попарных сравнений);

обработка матриц попарных сравнений;

объединение относительных весов территорий, полученных экспертами;

оценка согласованности мнений экспертов группы.