Площадь в полярных координатах
Пусть в полярной системе координат дана кривая, уравнение которой , где - непрерывная функция при . Требуется вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного радиусами – векторами ОА и ОВ (для которых соответственно
)
. Если плоская фигура ограничена несколькими кривыми, уравнения которых заданы в полярных координатах, то вычисления площади такой фигуры стараются свести к вычисле нию алгебраической суммы площадей криволинейных секторов.
Следовательно, будем иметь
. (т.е. из площади криволинейного сектора, ограниченного , отнимаем площади криволинейных секторов, ограниченных линиями , )
Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сечения (т.е. площадь сечения, образованного плоскостью перпендикулярной к оси ОХ - тела). Требуется вычислить объем этого тела. , где S – площадь поперечного сечения. Объем тела вращения Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограниченная осью ОX, прямыми x=a и x=b и кривой , где - непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b] функция. Тогда эта криволинейная трапеция опишет тело, являющееся телом вращения. Пример 6. 7.7.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой и прямой х=1. Решение: искомый объем получается как разность двух объемов, получающихся при вращении вокруг оси ОХ двух криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно кривыми и . Область определения функции
Вычисление длины дуги Длина дуги в полярных координатах Пусть на плоскости XOY дана кривая, уравнение которой y=f(x), где f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция. Пусть производная этой функции также непрерывная функция на отрезке [a,b]. . Пример 6.7.7..Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения ее с осью ОХ. Решение: у=0, , . Т.к. ув четной степени, то кривая симметрична относительно оси ОХ. ОДЗ: . , :
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями , , где Пусть функции , - непрерывные на функции, с непрерывными производными ; , . . Пример 6.7.8. Вычислим длину траектории , от до . Решение: ;
Длина дуги в полярных координатах Пусть в полярной системе координат дана кривая, уравнение которой , где . Функция имеет непрерывную производную на сегменте . Пример 6.7.9.Найти всю длину кривой . Решение: . Здесь имеем при и при .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1573)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |