Поверхностные интегралы II рода

Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .

Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий через т.М . Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так , чтобы он 1) всё время оставался нормальным к S , 2) и его направление менялось при этом перемещении непрерывно .

Если обход по любому замкнутому контуру , лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы , при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности , то поверхность называется двусторонней .

Если же на поверхности S , $ замкнутый контур , при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное , то поверхность называется односторонней .

Будем рассматривать только двусторонние поверхности .

Двустороннюю поверхность называют ориентируемой , одностороннюю – неориентируемой .

Пусть S – ориентируемая поверхность , ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения . Будем считать положительное направление обхода то , при движении по которому наблюдатель , расположенный так , что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове ,оставляет поверхность слева от себя .

Противоположное направление обхода считается отрицательным.

Перейдём к определению поверхностного интеграла II рода .

Пусть S – гладкая поверхность ÛZ = f(x,y) и R(x,y,z) – ограниченная функция , определённая в точках поверхности S .

Выберем одну из сторон поверхности . Если нормали составляют острые углы с осью Oz , то будем говорить , что выбрана верхняя сторона поверхности Z = f(x,y) , если тупые , то нижняя .

Разобьём S на произвольные n части .

G_i- проекцииi –части поверхности на ОХУ .

Выбрав на каждой частичной поверхности любую т.М_i (x_i , h_i, V_i), составим

где DS_i – площадь G_i , взятая со знаком (+) , если выбрана верхняя сторона поверхности S .

Уравнение – интегральная сумма для функции R(M) .

Обозначим через dмаксимальный из диаметров частей поверхности S .

Определение

Если интегральная сумма при d®0 имеет предел , равный J , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов :

.

R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S .

Сумму

называют общим поверхностным интегралом II рода и обозначают символом

,

который обладает теми же свойствами , что и поверхностный интеграл I рода . Отличается от него только тем , что при изменении стороны поверхности он меняет знак .