Вычисление поверхностного интеграла II рода
Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S
R(x,y,z) – непрерывная функция . Разобьём S произвольно на n частей G1 , G2 , . . . ,Gn . Выберем по произвольной точке Мi (xi , hi, Vi) . Составим интегральную сумму :
= ,
где DSi – площадь Gi , так как точка Vi = Z(xi , hi) . Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем
.
Аналогично :
.
G1 – проекция S на Oyz .
G2 – проекция S на Ozх .
Связь между поверхностными интегралами I и II рода Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cosa , cosb , cosg ) , тогда
Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак . Пример 6.8.11.Вычислить , где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .
. Формула Остроградского Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом ТеоремаЕсли функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула
.
Пример 6.8.12. , где S – внешняя сторна сферы x2 + y2 + z2 = R2 . Решение. Применим формулу Остроградского :
Вводим сферические координаты
.
Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса Теорема Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула
,
где L – граница поверхности S ;cosa , cosb , cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S .
Пример 6.8.13.Вычислить с помощью формулы Стокса , L- окружность А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 +z2 =1.
.
Контрольные работы Контрольная работа №1 Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель и определитель матрицы, транспонированной к данной. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20.
Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20.
Задание 3. Найдите матрицу, обратную матрице. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20.
Задание 4. Решите систему линейных уравнений матричным способом.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20.
Задание 5. Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8 . ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20.
Задание 6. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16 ; 17. ; 18. ; 19. ; 20.
Задание 7. Даны координаты векторов а1, а2, а3, а4 и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а1, а2, а3, а4 образуют базис и найдите координаты вектора b в этом базисе.
1. а1(1,2,-1,-2); а2(2,3,0,1); а3(1,2,1,3); а4(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2). 2. а1(2,1,0,-1); а2(2,3,0,-2); а3(2,4,2,1); а4(0,-3,0,2);b(5,2,1,0). 3. а1(1,1,4,2); а2(2,-1,3,1); а3(0,2,0,0); а4(1,-1,0,1);b(5,0,0,5). 4. а1(1,2,3,4); а2(2,3,4,1); а3(3,4,1,2); а4(4,1,2,3);b(2,2,2,4). 5. а1(2,0,0,0); а2(0,4,0,0); а3(0,0,6,0); а4(0,0,0,8);b(6,7,0,1). 6. а1(1,2,-1,-2); а2(2,3,0,1); а3(1,2,1,3); а4(1,3,-1,0);b(6,7,0,1). 7. а1(2,3,4,5); а2(3,4,5,2); а3(4,5,2,3); а4(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2). 8. а1(3,5,-1,-1); а2(3,5,1,4); а3(2,5,0,3); а4(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2). 9. а1(4,4,0,-3); а2(4,7,2,-1); а3(2,1,2,3); а4(0,-3,0,2);b(5,2,1,0). 10. а1(3,0,7,3); а2(2,1,3,1); а3(1,1,0,1); а4(1,-1,0,1);b(5,0,0,5). 11. а1(3,5,7,5); а2(5,7,5,3); а3(7,5,3,5); а4(4,1,2,3);b(2,2,2,4). 12. а1(2,4,0,0); а2(0,4,6,0); а3(0,0,6,8); а4(0,0,0,8);b(-14,6,0,1). 13. а1(1,2,-1,-2); а2(3,5,-1,-1); а3(3,5,1,4); а4(2,5,0,3);b(6,7,0,1). 14. а1(2,1,0,-1); а2(4,4,0,-3); а3(2,7,2,-1); а4(2,1,2,3);b(-3,2,5,0). 15. а1(5,7,9,7); а2(7,9,7,5); а3(9,7,5,7); а4(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2). 16. а1(1,3,5,3); а2(3,5,3,2); а3(5,3,1,3); а4(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3). 17. а1(-1,1,3,1); а2(1,3,1,-1); а3(3,-1,-1,1); а4(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2). 18. а1(0,1,2,3); а2(1,2,3,0); а3(2,3,0,1); а4(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3). 19. а1(-1,0,1,2); а2(0,1,2,-1); а3(1,2,-1,0); а4(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2). 20. а1(4,4,3,0); а2(-17,24,1,1); а3(-6,-1,2,0); а4(-5,3,1,0);b(-9,10,1,1).
Задание 8
По координатам вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти: 1) длины ребер а1 а2 и а1 а3; 2) угол между ребрами а1 а2 и а1 аз; 3) площадь грани а1 а2 а3; 4) объем пирамиды а1 а2 а3 а4; 5) уравнения прямых а1 а2 иа1 а3; 6) уравнения плоской а1 а2 а3 иа1 а2 а4 ; 7) угол между плоскостями а1 а2 а3 иа1 а2 а4; 8) угол между ребром а1 а3 и гранью а1 а2 а4 ; 9) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 ; 10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1 а2 а3 , и вершину а1 пирамиды ; 11) расстояние от вершины.а3до плоскости а1 а2 а4.
Задание 9 Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 перпендикулярно плоскости a :
Задание 10 Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ1 и ℓ2:
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а1 и а2:
Задание 11 Найти проекцию точки А на плоскости a:
Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:
Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:
Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскостиа с прямыми ℓ1 и ℓ2:
Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости aи проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору `а:
Задание 12 Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ1 и ℓ2:
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ1, параллельно прямой ℓ2:
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямымℓ1 и ℓ2:
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ1 и ℓ2:
Контрольная работа №2 ЗАДАНИЕ 1 Вычислите пределы:
ЗАДАНИЕ 2 Вычислите пределы:
ЗАДАНИЕ 3 Вычислите пределы: а)
б)
ЗАДАНИЕ 4 Вычислите пределы: а)
б)
(0.009 сек.) |