Вычисление поверхностного интеграла II родаПусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S
R(x,y,z) – непрерывная функция . Разобьём S произвольно на n частей G1 , G2 , . . . ,Gn . Выберем по произвольной точке Мi (xi , hi, Vi) . Составим интегральную сумму :
где DSi – площадь Gi , так как точка Vi = Z(xi , hi) . Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем
Аналогично :
.
G1 – проекция S на Oyz .
G2 – проекция S на Ozх .
Связь между поверхностными интегралами I и II рода Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция
Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак . Пример 6.8.11.Вычислить
Формула Остроградского Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом ТеоремаЕсли функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула
Пример 6.8.12.
где S – внешняя сторна сферы x2 + y2 + z2 = R2 . Решение. Применим формулу Остроградского :
Вводим сферические координаты
Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса Теорема Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула
где L – граница поверхности S ;cosa , cosb , cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S .
Пример 6.8.13.Вычислить с помощью формулы Стокса L- окружность А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 +z2 =1.
Контрольные работы Контрольная работа №1 Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель и определитель матрицы, транспонированной к данной. 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19.
Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка
1. 4. 7. 10. 13. 16. 18. 19.
Задание 3. Найдите матрицу, обратную матрице. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
Задание 4. Решите систему линейных уравнений матричным способом.
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
Задание 5. Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера.
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
Задание 6. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
Задание 7. Даны координаты векторов а1, а2, а3, а4 и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а1, а2, а3, а4 образуют базис и найдите координаты вектора b в этом базисе.
1. а1(1,2,-1,-2); а2(2,3,0,1); а3(1,2,1,3); а4(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2). 2. а1(2,1,0,-1); а2(2,3,0,-2); а3(2,4,2,1); а4(0,-3,0,2);b(5,2,1,0). 3. а1(1,1,4,2); а2(2,-1,3,1); а3(0,2,0,0); а4(1,-1,0,1);b(5,0,0,5). 4. а1(1,2,3,4); а2(2,3,4,1); а3(3,4,1,2); а4(4,1,2,3);b(2,2,2,4). 5. а1(2,0,0,0); а2(0,4,0,0); а3(0,0,6,0); а4(0,0,0,8);b(6,7,0,1). 6. а1(1,2,-1,-2); а2(2,3,0,1); а3(1,2,1,3); а4(1,3,-1,0);b(6,7,0,1). 7. а1(2,3,4,5); а2(3,4,5,2); а3(4,5,2,3); а4(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2). 8. а1(3,5,-1,-1); а2(3,5,1,4); а3(2,5,0,3); а4(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2). 9. а1(4,4,0,-3); а2(4,7,2,-1); а3(2,1,2,3); а4(0,-3,0,2);b(5,2,1,0). 10. а1(3,0,7,3); а2(2,1,3,1); а3(1,1,0,1); а4(1,-1,0,1);b(5,0,0,5). 11. а1(3,5,7,5); а2(5,7,5,3); а3(7,5,3,5); а4(4,1,2,3);b(2,2,2,4). 12. а1(2,4,0,0); а2(0,4,6,0); а3(0,0,6,8); а4(0,0,0,8);b(-14,6,0,1). 13. а1(1,2,-1,-2); а2(3,5,-1,-1); а3(3,5,1,4); а4(2,5,0,3);b(6,7,0,1). 14. а1(2,1,0,-1); а2(4,4,0,-3); а3(2,7,2,-1); а4(2,1,2,3);b(-3,2,5,0). 15. а1(5,7,9,7); а2(7,9,7,5); а3(9,7,5,7); а4(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2). 16. а1(1,3,5,3); а2(3,5,3,2); а3(5,3,1,3); а4(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3). 17. а1(-1,1,3,1); а2(1,3,1,-1); а3(3,-1,-1,1); а4(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2). 18. а1(0,1,2,3); а2(1,2,3,0); а3(2,3,0,1); а4(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3). 19. а1(-1,0,1,2); а2(0,1,2,-1); а3(1,2,-1,0); а4(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2). 20. а1(4,4,3,0); а2(-17,24,1,1); а3(-6,-1,2,0); а4(-5,3,1,0);b(-9,10,1,1).
Задание 8
По координатам вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти: 1) длины ребер а1 а2 и а1 а3; 2) угол между ребрами а1 а2 и а1 аз; 3) площадь грани а1 а2 а3; 4) объем пирамиды а1 а2 а3 а4; 5) уравнения прямых а1 а2 иа1 а3; 6) уравнения плоской а1 а2 а3 иа1 а2 а4 ; 7) угол между плоскостями а1 а2 а3 иа1 а2 а4; 8) угол между ребром а1 а3 и гранью а1 а2 а4 ; 9) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 ; 10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1 а2 а3 , и вершину а1 пирамиды ; 11) расстояние от вершины.а3до плоскости а1 а2 а4.
Задание 9 Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 перпендикулярно плоскости a :
Задание 10 Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ1 и ℓ2:
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а1 и а2:
Задание 11 Найти проекцию точки А на плоскости a:
Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:
Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:
Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскостиа с прямыми ℓ1 и ℓ2:
Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости aи проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору `а:
Задание 12 Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ1 и ℓ2:
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ1, параллельно прямой ℓ2:
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямымℓ1 и ℓ2:
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ1 и ℓ2:
Контрольная работа №2 ЗАДАНИЕ 1 Вычислите пределы:
ЗАДАНИЕ 2 Вычислите пределы:
ЗАДАНИЕ 3 Вычислите пределы: а)
б)
ЗАДАНИЕ 4 Вычислите пределы: а)
б)
(0.005 сек.) |