Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Вычисление поверхностного интеграла II рода





Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S

 

R(x,y,z) – непрерывная функция .

Разобьём S произвольно на n частей G1 , G2 , . . . ,Gn .

Выберем по произвольной точке Мi (xi , hi, Vi) .

Составим интегральную сумму :

 

= ,

 

где DSi – площадь Gi , так как точка Vi = Z(xi , hi) .

Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем

 

.

 

Аналогично :

 

.

 

G1 – проекция S на Oyz .

 

 

G2 – проекция S на Ozх .

 

Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cosa , cosb , cosg ) , тогда

 

Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак .

Пример 6.8.11.Вычислить

, где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .

 

.

Формула Остроградского

Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом

ТеоремаЕсли функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула

 

.

 

Пример 6.8.12.

,

где S – внешняя сторна сферы x2 + y2 + z2 = R2 .

Решение.

Применим формулу Остроградского :

 

Вводим сферические координаты

 

.

 

Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса

Теорема Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула

 

,

 

где L – граница поверхности S ;cosa , cosb , cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S .

 

Пример 6.8.13.Вычислить с помощью формулы Стокса ,

L- окружность

А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 +z2 =1.

 

 


 

.

Контрольные работы



Контрольная работа №1

Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель

и определитель матрицы, транспонированной к данной.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

 

Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка

 

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ;

19. ; 20.

 

 

Задание 3. Найдите матрицу, обратную матрице. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

Задание 4. Решите систему линейных уравнений матричным способом.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

Задание 5. Решите систему линейных уравнений по формулам

Крамера.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8 . ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

Задание 6. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16 ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

 

Задание 7. Даны координаты векторов а1, а2, а3, а4 и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а1, а2, а3, а4 образуют базис и найдите координаты вектора b в этом базисе.

 

1. а1(1,2,-1,-2); а2(2,3,0,1); а3(1,2,1,3); а4(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2).

2. а1(2,1,0,-1); а2(2,3,0,-2); а3(2,4,2,1); а4(0,-3,0,2);b(5,2,1,0).

3. а1(1,1,4,2); а2(2,-1,3,1); а3(0,2,0,0); а4(1,-1,0,1);b(5,0,0,5).

4. а1(1,2,3,4); а2(2,3,4,1); а3(3,4,1,2); а4(4,1,2,3);b(2,2,2,4).

5. а1(2,0,0,0); а2(0,4,0,0); а3(0,0,6,0); а4(0,0,0,8);b(6,7,0,1).

6. а1(1,2,-1,-2); а2(2,3,0,1); а3(1,2,1,3); а4(1,3,-1,0);b(6,7,0,1).

7. а1(2,3,4,5); а2(3,4,5,2); а3(4,5,2,3); а4(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2).

8. а1(3,5,-1,-1); а2(3,5,1,4); а3(2,5,0,3); а4(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2).

9. а1(4,4,0,-3); а2(4,7,2,-1); а3(2,1,2,3); а4(0,-3,0,2);b(5,2,1,0).

10. а1(3,0,7,3); а2(2,1,3,1); а3(1,1,0,1); а4(1,-1,0,1);b(5,0,0,5).

11. а1(3,5,7,5); а2(5,7,5,3); а3(7,5,3,5); а4(4,1,2,3);b(2,2,2,4).

12. а1(2,4,0,0); а2(0,4,6,0); а3(0,0,6,8); а4(0,0,0,8);b(-14,6,0,1).

13. а1(1,2,-1,-2); а2(3,5,-1,-1); а3(3,5,1,4); а4(2,5,0,3);b(6,7,0,1).

14. а1(2,1,0,-1); а2(4,4,0,-3); а3(2,7,2,-1); а4(2,1,2,3);b(-3,2,5,0).

15. а1(5,7,9,7); а2(7,9,7,5); а3(9,7,5,7); а4(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2).

16. а1(1,3,5,3); а2(3,5,3,2); а3(5,3,1,3); а4(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3).

17. а1(-1,1,3,1); а2(1,3,1,-1); а3(3,-1,-1,1); а4(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2).

18. а1(0,1,2,3); а2(1,2,3,0); а3(2,3,0,1); а4(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3).

19. а1(-1,0,1,2); а2(0,1,2,-1); а3(1,2,-1,0); а4(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2).

20. а1(4,4,3,0); а2(-17,24,1,1); а3(-6,-1,2,0); а4(-5,3,1,0);b(-9,10,1,1).

 

Задание 8

 

По координатам вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти:

1) длины ребер а1 а2 и а1 а3;

2) угол между ребрами а1 а2 и а1 аз;

3) площадь грани а1 а2 а3;

4) объем пирамиды а1 а2 а3 а4;

5) уравнения прямых а1 а2 иа1 а3;

6) уравнения плоской а1 а2 а3 иа1 а2 а4 ;

7) угол между плоскостями а1 а2 а3 иа1 а2 а4;

8) угол между ребром а1 а3 и гранью а1 а2 а4 ;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 ;

10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1 а2 а3 , и вершину а1 пирамиды ;

11) расстояние от вершины.а3до плоскости а1 а2 а4.

 

    а1 а2 а3 а4
(3;1;4)   (-1;6;1) (-1;1;6)   (0;4;-1)  
  (3;3;9)   (6;9;1) (1;7;3)   (8;5;8)  
(3;5;4)   (5;8;3) (1;9;9)   (6;4;8)  
(2;4;3)   (7;6;3) (4;9;3)   (3;6;7)  
  (9;5;5)   (-3;7;1)   (5;7;8)   (6;9;2)  
  (0;7;1)   (4;1;5)   (4;6;3)   (3;9;8)  
  (5;5;4)   (3;8;4)   (3;5;10) (5;8;2)  
  (6;1;1)   (4;6;6)   (4;2;0)   (1;2;6)  
  (7;5;3)   (9;4;4)   (4;5;7)   (7;9;6)  
  (6;6;2)   (5;4;7)   (2;4;7)   (7;3;0)  
  (0;3;2)   (-1;3;6)   (-2;4;2) (0;5;4)  
  (-1;2;0)   (-2;2;4)   (-3;3;0) (-1;4;2)  
  (2;2;3) (1;2;7)   (0;3;3)   (2;4;5)  
  (0;-1;2) (-1;-1;6)   (-2;0;2)   (0;1;4)  
  (3;0;2)   (2;0;6)   (1;1;2)   (3;2;4)  
  (0;2;-1)   (-1;2;3)   (-2;3;-1)   (0;4;1)  
  (2;3;2)   (1;3;6)   (0;4;2)   (2;5;4)  
  (-1;0;2)   (-2;0;6)   (-3;1;2)   (-1;2;4)  
  (2;0;3)   (1;0;7)   (0;1;3)   (2;2;5)  
  (2;-1;2)   (1;-1;6)   (0;0;2)   (2;1;4)  

 

Задание 9

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:

 

    M   a   b
  (2;1;-5)   3X-2Y+Z+7=0   5X-4Y+3Z+1=0  
  (1;-1;1)   X-Y+Z-1=0   2X+Y+Z+1=0  
  (2;-1;1)   3X+2Y-Z+4=0   X+Y+Z-3=0  
  (1;8;2)   5X+6Y+11Z-3=0   3X+Y+4Z-12=0  
  (-1;-2;0)   4X+6Y-5Z-14=0 X+3Y-2Z-1 =0
(5;1;2)   X-7Y-2Z-10=0   2X-2Y-Z-13=0  
  (2;4;1)   X-2Y+5Z-7=0   2X-3Y+7Z-5=0  
  (1;1;1)   X-2Y+2Z+8=0   3X+5Y+7Z-1=0  
  (1;4;5)   X+Y+5Z+3=0   3X+2Y+8Z-9=0  
  (3;0;7)   X+Y+4Z=0   3X+2Y+7Z-2=0  

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 перпендикулярно плоскости a :

 

  М1 М2 a
(2;-1;4) (3;2;1) X+Y+Z-3=0
(1;1;1) (2;2;2) X-Y-Z=0
(0;-5;0) (0;0;2) X+5Y+2Z-10=0
(2;0;-1) (1;-1;3) 3X+2Y-Z+3=0
(-1;-2;0) (1;1;2) X+2Y+2Z-4=0
(1;-2;4) (2;-3;5) X+Y-3Z+8=0
(0;1;3) (1;2;7) X+2Y+5Z+6=0
(1;1;0) (2;-1;-1) 5X+2Y+3Z-7=0
(1;4;0) (2;14;3) X+6Y+Z-3=0
(9;1;1) (19;2;2) 17X+2Y+Z+11=0
(7;1;0) (26;2;3) 9X+Y+Z-17=0
(0;1;2) (-1;2;3) X+Y-Z+2=0
(3;4;6) (5;1;5) X+2Y+3Z-6=0
(4;1;0) (2;-1;1) X-Y+Z-3=0
(1;0;1) (-1;1;0) X+2Y-Z-1=0

 

Задание 10

Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:

 

    a   b
  x-2у+2z-8=0   x+2z-6=0  
  3x-5y+z-8=0   2x+y-z+2=0  
  x-2y+3z-4=0   3x+2y-5z-4=0  
  x+z-6=0   x+6y-4=0  
  x+2y-4=0   x-2y+2z-8=0  
  x+2Z-6=0   x+y+z-6=0  
  x+2y+3z-13=0   3x+y+4z-14=0  
  x+2y+3z-1=0   2x-3y+2z-9=0  
  2x+7y-z-8=0   Х+2y+z-4=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:

    А
  (3;1;-1) X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0
  (2;0;-3)  
  (-4;3;0)   x-2y+z-4=0 2x+y-z=0
  (2;-5;9)   2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ1 и ℓ2:

 

    А 1 2
  (2;-3;4)
  (0;1;1)  
  (2;-3;4) x=t;y=t;z=2t+5 x=3t+8;y=2t-4;z=t+2
  (0;1;-1)   x=3t+1;y=15t;z=7t-2 x=t;y=2t-5;z=6
  (0;-1;1) x=2t;y=t-5;z=3t-2 x=4t-1;y=4t+6;z=t-4

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а1 и а2:

 

      а1   а2
(1;-2;1) (3;1;1)  
  (1;-2;1) (0;6;5)  
  (3;1;2) (0;2;5)
  (0;1;2) (5;2;1)
  (1;7;3) (0;2;1)
  (1;0;2) (5;1;4)
  (3;5;1) (2;3;1)

 

Задание 11

Найти проекцию точки А на плоскости a:

  А a
(1;3;1)   x+2y+2z-30=0
(3;1;-1)   3x+y+z-20=0
(5;2;-1)   2x-y+3z+23=0
(4;-3;1)   x-2y-z-15=0
(1;-1;0)   5x-6y+2z-76=0

 

Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:

 

    А   а  
  (0;0;0;)   х-2у+4z-21=0  
  (1;5;2)   2х-у-z+11=0  
  (1;-3;-4)   Зх-у-2z=0  
(5;2;-1)   2х-у+3z+23=0  
(3;-4;-6) 9х-7у-31z-108=0  

Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:

 

  А
(2;1;0)
(4;3;10)
(1;-1;2)
(3;2;0)
(2;-1;5)
(0;0;0;)  

 

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскостиа с прямыми ℓ1 и ℓ2:

 

  А 1   2
2x+y-3z=0
3x-2y+z=0
6x+3y-41=0
3x-y-2z+5=0
2x+3y+z-1=0

 

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости aи проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору `а:

  a   ℓ _` а
6x+3y-z-41=0 {1;2;1}
x+2y=0 {3;-1;2}
x+2y=0 {5;-1;2}
3x-y-2z+5=0 {0;3;5}

Задание 12

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ1 и ℓ2:

 

  1 2
x=2t+1;y=-t;z=t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ1, параллельно прямой ℓ2:

 

  1 2
x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2   x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямымℓ1 и ℓ2:

 

  1 2 М
(-2;0;0)  
(6;1;1)  
(1;2;1)  
(1;2;3)  
(0;0;2)  

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ1 и ℓ2:

  1 2
x=z-2;y=2z+1  
x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
x=t+1;y=-2;z=-t+1   x=2t;y=2t-2;z=-3t+2
x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1
x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6   x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1  

 

Контрольная работа №2

ЗАДАНИЕ 1

Вычислите пределы:

1 11
2 12
3 13
4 14
5    
6  
7    
8    
9    
10    
     
15    
16    
17 18  
19    
20  
       

ЗАДАНИЕ 2

Вычислите пределы:

1 11  
2 12  
3 13  
4 14  
5 15  
6 16  
7 17  
8 18  
9 19  
10 20
   

 

ЗАДАНИЕ 3

Вычислите пределы:

а)

1 11  
2 12  
3 13  
4 14  
5 15  
6 16  
7 17  
   
8 18
9 19
10 20

 

б)

1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
10 20

 

ЗАДАНИЕ 4

Вычислите пределы:

а)

1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
10 20

 

б)

 





Читайте также:


Рекомендуемые страницы:


Читайте также:
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1580)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.043 сек.)