Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

– условие параллельности прямых.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

– условие перпендикулярности прямых.

Пример. Найти уравнения прямой проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Поскольку искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой.

По условию ,

– отсюда уравнение искомой прямой имеет вид: .

Угол между прямой, заданной каноническими уравнениями и плоскостью, определяемой общим уравнением

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением . Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , а . Если угол между векторами и тупой, то он равен .

Следовательно . Поэтому в любом случае . Применив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю – условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Окружность

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

(2)

где - радиус окружности, и - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид

(3)

Рис. 2

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках и :

(4)

где и - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты эллипса связаны соотношением

Рис. 3

Если центр эллипса находится в точке , то уравнение эллипса имеет вид:

(5)

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках и имеет вид:

(6)

где - действительная полуось,

- мнимая полуось.

Коэффициенты и гиперболы связаны соотношением .

Прямые - асимптоты гиперболы.

Рис. 4

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

(7)

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

, (8)

где - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты .

Рис. 5

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид: