Алгоритм метода искусственного базиса

Алгоритм метода искусственного базиса.

Подготовительный этап

Приводим задачу ЛП к каноническому виду

F=a_0,1x₁+a_0,2x₂+...a_0,nx_n +b₀ → max

a_1,1x₁+a_1,2x₂+...a_1,nx_n+x_n+1=b₁

a_2,1x₁+a_2,2x₂+...a_2,nx_n+x_n+2=b₂

.........................................

a_i,1x₁+a_i,2x₂+...a_i,nx_n+R_i=b_i

.......................................

a_m,1x₁+a_m,2x₂+...a_m,nx_n+x_n+m=b_m

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a_0,n=-a_0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" или "=" - коэффициенты запишутся без изменений. К каждому условияю-неравенству, при переходе к каноническому виду добавляем дополнительную переменную, x_n+m , к каждому i-му условию-равенству добавляем искусственную переменную R_i.

Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

Шаг 1. Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a_k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом.Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласноправилам.

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строках M и F(не беря в расчет элемент b₀ - текущее значение целевой функции и элемент -∑b_i) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

Положительность строки M

Если в строке M есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки M максимальный по модулю (исключая -∑b_i)

l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b_k/a_k,l=min {b_i/a_i,l} при a_i,l>0, b_i>0

k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a_k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x_k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x_l) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке M остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке M и в столбце свободных членов все элементы положительные, то переходим к шагу 2.2.

Положительность строки F

Проверяем на положительность элементы строки F. Если имеются отрицательные элементы ( не считая b₀), выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю.

-a_0,l=min{-a_0,i}

l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b_k/a_k,l=min {b_i/a_i,l} при a_i,l>0, b_i>0

k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a_k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x_k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x_l) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2.2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы

При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

• Вместо базисной переменной x_k записываем x_l; вместо небазисной переменной x_l записываем x_k.
• ведущий элемент заменяется на обратную величину a_k,l'= 1/a_k,l
• все элементы ведущего столбца (кроме a_k,l) умножаются на -1/a_k,l
• все элементы ведущей строки (кроме a_k,l) умножаются на 1/a_k,l
• оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле a_i,j'= a_i,j- a_i,l×a_k,j/ a_k,l