Задачи для самостоятельного решения

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЧАСТЬ I

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

 

Учебно-методическое пособие

 

 

Рекомендовано методической комиссией

Механико-математического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 020100.62 «Химия», 240100.62 «Химическая технология и биотехнология»

Нижний Новгород

УДК 519.21

ББК В 171

Ш 55

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

Ш 55 Составители: Шишина В.Т., Филиппова Н.М.: Учебно-методическое пособие.- Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 45 с.

Рецензент: кандидат физ.-мат. наук, доцент В.А. Зорин.

Настоящее учебно-методическое пособие содержит основные теоретические сведения и теоремы одного из разделов теории вероятностей«Случайные события».

Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением большого количества типовых примеров и задач с подробными решениями; приводится изрядное количество разнообразных задач с ответами для самостоятельного решения.

Основная цель учебно-методического пособия - помочь студентам лучше усвоить теоретический материал и привить навыки его использования к решению конкретных задач.

Данное учебно-методическое пособие, предназначенное для студентов химического факультета, будет полезно и студентам других факультетов ННГУ, а также студентам вузов, изучающим высшую математику, и преподавателям для проведения практических занятий.

Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии механико-математического факультета ННГУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.А. Денисова.

УДК 519.21

ББК В 171

Ш 55

Содержание

Введение.............................................................................................................................................. 4

§1. Соотношения между случайными событиями............................................................................. 5

1.1. Основные понятия..................................................................................................................... 5

1.2. Решение задач............................................................................................................................ 6

1.3. Задачи для самостоятельного решения................................................................................... 7

§2. Вероятность случайного события................................................................................................ 8

2.1. Аксиоматическое определение вероятности........................................................................... 8

2.2. Классическое определение вероятности.................................................................................. 9

2.3. Элементы комбинаторики......................................................................................................... 9

2.4. Непосредственный подсчет вероятностей............................................................................. 11

2.5. Задачи для самостоятельного решения................................................................................. 14

§3. Геометрическая вероятность...................................................................................................... 16

3.1. Основные понятия................................................................................................................... 16

3.2. Решение задач.......................................................................................................................... 17

3.3. Задачи для самостоятельного решения................................................................................. 19

§4. Теоремы умножения и сложения вероятностей......................................................................... 21

4.1. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей.................................................. 21

4.2. Вероятность суммы совместных событий............................................................................. 22

4.3. Решение задач.......................................................................................................................... 23

4.4. Задачи для самостоятельного решения................................................................................. 26

§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса....................................................................... 30

5.1. Основные формулы................................................................................................................. 30

5.2. Решение задач.......................................................................................................................... 30

5.3. Задачи для самостоятельного решения................................................................................. 32

§6. Схема испытаний Бернулли........................................................................................................ 37

6.1. Формула Бернулли.................................................................................................................. 37

6.2. Полиномиальное распределение............................................................................................ 38

6.3. Решение задач.......................................................................................................................... 38

6.4. Задачи для самостоятельного решения................................................................................. 40

Ответы................................................................................................................................................ 43

Литература......................................................................................................................................... 45

 

Введение

 

Настоящее учебно-методическое пособие написано авторами на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по теории вероятностей в общем курсе “Высшая математика” на химическом факультете ННГУ.

Учебно-методическое пособие носит учебный характер и представляет собой методическое руководство к решению задач, отвечающих одному из разделов теории вероятностей “Случайные события”.

Цель методического пособия – помочь студентам грамотно выбрать правильный подход к решению конкретных задач, для чего в каждом параграфе пособия приведено достаточно большое количество подробно решенных типовых задач с методическими рекомендациями. Этому же способствуют излагаемые в начале каждого параграфа основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения последующих задач. Для закрепления разобранного материала приводится большое количество разнообразных задач (с ответами) для самостоятельного решения.

 

 

Соотношения между случайными событиями

 

Основные понятия

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие события.

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате некоторого опыта (испытания, эксперимента).

Под опытом (испытанием, экспериментом) в данном определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A,B,C,…

Совокупность всех случайных событий для данного испытания называется классом или полем событий.

Различные события в данном опыте могут быть связаны между собой определенными соотношениями. Перечислим их.

. Событие называется достоверным (обозначается буквой D), если в результате данного опыта оно обязательно наступит.

. Событие называется невозможным (обозначается буквой N или символом ), если в результате проведения опыта оно не может произойти.

. СобытиеA влечет за собой событие B(или: событие A входит в B, является частным случаем события B), если при наступлении события A обязательно наступает событие B; пишут A B или B A.

. Если одновременно A B и B A, то события A и B называются эквивалентными или равносильными. В этом случае пишут A=B.

. Событие C, состоящее в совместном наступлении событий A и B называется произведением событий и обозначается .

. Событие S, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B (т.е. или A, или B, или A и B вместе) называется суммой событий A и B и обозначается S=A+B.

Непосредственно из определения суммы и произведения событий следует, что , .

. Событие C, состоящее в том, что событие A происходит, а событие B не происходит, называется разностью событий A и B и обозначается C=A-B.

.Событие, состоящее в ненаступлении события A, называется противоположнымсобытию A и обозначается (т. е. событие – это все то, что не A).

События A и называют еще взаимно дополнительными. События A и связаны между собой соотношениями: , .

.События A и B называются несовместными, если их совместное наступление невозможно в одном и том же опыте, т. е. если . События A и B называются совместными, если их совместное наступление возможно, т. е. если .

Аналогично событий называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны, т. е. если при всех . События называются совместными, если совместны хотя бы два из них.

.Если и события попарно несовместны, то говорят, что событиеA подразделяется на частные случаи .

. События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них, т. е. .

. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если при условии симметрии опыта ни одно из этих событий не является объективно более возможным (т.е. все события имеют равные “шансы”).

Решение задач

Пример 1. При каких событиях A и B возможно равенство A+B=A?

Решение. Сумма событий A+B представляет событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B. Равенство A+B=A возможно, если событие .

Пример 2.Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие A), либо второго (событие B), либо третьего (событие C) сорта. Что представляют собой следующие события: A+B; ; AC; AB+C?

Решение.A+B – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B, следовательно, в нашем случае A+B – деталь первого или второго сорта. Так как A+C – деталь первого или третьего сорта, то противоположное ему событие - деталь второго сорта. AC=N, поскольку деталь не может быть одновременно и первого и третьего сорта. AB+C как сумма невозможного события и события C равно C, т. е. AB+C – деталь третьего сорта.

Пример 3.Событие A = {хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный}; B = {все приборы доброкачественные}. Что означают события: а) A+B; б) AB?

Решение. A+B=D; б) AB=N.

Пример 4. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие {первый студент решил задачу}, {второй студент решил задачу}, {третий студент решил задачу}. Выразить через события (i=1, 2, 3) следующие события: 1) A={все студенты решили задачу}; 2) B={задачу решил только первый студент}; 3) C={задачу решил хотя бы один студент}; 4) E={задачу решил только один студент}.

Решение. 1) Событие A состоит в совместном наступлении всех трех событий , , , т. е. .

2) В этом случае событие произошло, а и не произошли, т. е. произошли события и , следовательно, .

3) Событие C означает, что произошло или событие , или , или , или любые два из них, или все три события, т. е. имеем сумму событий .

4) Задачу решил только первый студент ( ), или только второй студент ( ), или только третий студент ( ). В этом случае имеем сумму событий E= + + .

 

Задачи для самостоятельного решения

1.1.Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A={выбранное число делится на 5}; событие B={данное число оканчивается нулем}. Что означают события: , ?

 

1.2.Два шахматиста играют одну партию. Событие A={выиграет первый игрок}, B={выиграет второй игрок}. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

1.3.Совместны ли события и ?

 

1.4.События A={хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное}, событие B={бракованных изделий среди них не менее двух}. Что означают противоположные события и ?

 

1.5.Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события A={выбрана красная роза}, B={выбрана желтая роза}, C={выбрана белая роза}. Что означают события: а) ; б) A+B; в) AC; г) ; д) + ; е) AB+C?

 

1.6.Пусть - попадание в мишень соответственно первым, вторым и третьим стрелком при одном выстреле. События - промахи этих стрелков. Найти выражения для событий: а) A={ни одного попадания в мишень}, б) B={только одно попадание}, в) C={только два попадания}, г) E={три попадания}, д) F={хотя бы одно попадание}; е) K={хотя бы два попадания в результате этих трех выстрелов}.

 

1.7.Выделить полную группу несовместных событий в опыте с вбрасыванием одного игрального кубика. Выразить через события этой группы события: A={выпадение четного числа очков}; B={выпадение числа очков, кратного трем}.

 

1.8.Пусть A, B, C – три произвольных события. Найти выражения для

событий, которые состоятся в следующих случаях: 1) произошло только событие A; 2) произошло одно и только одно событие; 3) произошло два и только два события; 4) все три события произошли; 5) произошло по крайней мере одно событие; 6) произошло не более двух событий.