Схема испытаний Бернулли

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие A с одной и той же вероятностью P(A)=p или произойти противоположное событие с вероятностью (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие A наступит в этих n испытаниях ровно m раз находится по формуле Бернулли

, m = 0,1,2,…,n, где (13)

Формула (13) выражает так называемое биномиальное распределение.

Из формулы Бернулли, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие A наступит не менее раз, равна или .

Вероятность наступления события A хотя бы один раз в n испытаниях равна

. (14)

Число ( ) называется наивероятнейшим числом наступлений события A в схеме Бернулли, если для всех m=0,1,2,…,n. Если вероятности p и q отличны от нуля, то число определяется из двойного неравенства

. (15)

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение .

Если же - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: и .

Полиномиальное распределение

Пусть производится серия из независимых испытаний (опытов), в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий с соответствующими вероятностями (ясно, что . Тогда вероятность того, что в этих опытах событие появится раз, событие - раз, …, событие - раз, равна

, (16)

где .

Формула (16) задает полиномиальное распределение вероятностей. Заметим, что схема Бернулли является частным случаем полиномиального распределения при , .

Решение задач

Пример 1.Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет: а) два раза; б) хотя бы один раз.

Решение.Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание имеет два исхода: шестерка выпадет, шестерка не выпадет. Вероятность выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна . Таким образом, мы имеем дело со схемой Бернулли.

Для нахождения искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли (13) и формулой (14) соответственно.

а) Здесь n = 10, m = 2, , . Тогда по формуле (4.1) .

б) По формуле (14) найдем, что .

Пример 2.Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.

Решение.Наивероятнейшее число всхожих семян находим из условия (15). Поскольку n = 240, p = 0,7 и q = 0,3, то , т.е. . Отсюда следует, что .

Пример 3.В урне 10 красных и 40 синих шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений красного шара

Решение.Здесь , , . Используя двойное неравенство (15) при указанных значениях n, p и q, получим ,

т.е. . Таким образом, задача имеет два решения: , .

Пример 4.По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится 10 выстрелов из спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом будет шесть попаданий в круг, три – в первое кольцо и одно попадание во второе кольцо.

Решение.Пусть событие - попадание в круг при одном выстреле, - попадание в первое кольцо, - попадание во второе кольцо. По условию , , . Всего производится опытов. Определяется вероятность P того, что при этих опытах событие произойдет шесть раз, событие - три раза и событие - один раз. Тогда , , . Поэтому искомая вероятность по формуле (16) равна .