Задачи для самостоятельного решения. 2.1.Из четырех одинаковых карточек, на которых написаны буквы А

 

2.1.Из четырех одинаковых карточек, на которых написаны буквы А, Б, В, Г, наугад взяты две. Определить вероятность того, что буквы на этих карточках будут соседними по алфавиту.

 

2.2.Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна 8; б) произведение выпавших очков равно 8; в) сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

 

2.3.Даны 9 карточек с числами от 1 до 9. Наудачу берут 5 карточек и располагают их в строку, в результате получается пятизначное число. Найти вероятность того что: а) полученное число будет четным; б) число делится на 5; в) число делится на 25.

 

2.4.Из 20 акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов.

 

2.5.В лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 6-м этаже; б) на одном этаже?

 

2.6.На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.

 

2.7.Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов: а) один выигрышный; б) оба выигрышных; в) хотя бы один выигрышный.

 

2.8.В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5,7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки.

 

2.9.На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?

 

2.10.Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б) четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?

 

2.11.Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?

 

2.12.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдает зачет; б) не сдает зачет?

 

2.13.В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется не менее 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

 

2.14.В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность того, что из них ровно s изделий будут дефектными.

 

2.15.Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает: а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос.

 

2.16.На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?

 

2.17.Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две окажутся бракованными?

 

2.18.В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?

 

2.19.Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один - в другую?

 

2.20.Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?

 

 

Геометрическая вероятность

Основные понятия

 

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновероятных событий. На практике же очень часто встречаются испытания с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом возможных исходов, поэтому в таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Тогда вводят понятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т.д.).

Рассмотрим, например, на плоскости некоторую область G, имеющую площадь , и внутри области G область g с площадью . Пусть в область G наудачу бросается точка. При этом попадание точки в область G – достоверное событие, а в g – случайное. Предполагается, что все точки области G равноправны, т. е. наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области G, и вероятность события A – попадания точки в область g – пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы (рис.1).

 

 

Рис. 1

 

Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области g к площади области G, т. е.

(2)

Область g называется благоприятствующей (благоприятной) событию A.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок) и трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, можно записать

(3)

 

Решение задач

 

Пример 1.В некоторой точке C линии AB длины L произошел разрыв. Какова вероятность того, что точка C удалена от точки A на расстояние не меньше ?

Решение. Расположим отрезок AB на числовой оси Ox так, как изображено на рис. 2.

 

 

 

Рис. 2

 

Пусть x – координата случайной точки C отрезка AB, . Ясно, что исходов опыта (разрыв линии AB в точке C) бесчисленное множество и все они равновозможны. На отрезке AB возьмем точку M, расстояние которой от точки A, равно .

Очевидно, что событие A={точка C удалена от точки A на расстояние не меньше } произойдет, если точка C попадет на отрезок MB=[ ,L].

Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события A (на рис. 2 она заштрихована), является отрезок MB, а множеству исходов опыта соответствует отрезок AB=[0,L].

Тогда по формуле (3)

.

 

Пример 2. (Задача о встрече).Два студента A и B условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 минут может произойти наудачу и моменты прихода независимы?

Решение.Пусть x – время прихода студента A, а y – студента B. Ясно, что , .

Будем рассматривать x и y как декартовы координаты на плоскости Oxy, выбрав в качестве единицы масштаба одну минуту. Тогда все возможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной a=50, т.е. .

Интересующее нас событие C={студенты A и B встретятся} наступит тогда и только тогда, если разность между моментами их прихода будет не более 10 минут (по модулю), т. е. .

Неравенство , т. е. определяет благоприятствующую событию C область g, заштрихованную на рис.3.

Тогда по формуле (2) искомая вероятность равна

.

 

 

 

Рис. 3 Рис. 4

 

Пример 3.Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше ?

Решение. Обозначим через x и y соответственно две положительные правильные дроби. Ясно, что 0<x<1, 0<y<1. Будем рассматривать x и y как декартовы координаты на плоскости. Всевозможные исходы изобразятся

на плоскости точками (x, y) квадрата со стороной, равной 1. Поэтому область G={(x,y): 0<x<1, 0<y<1}. Интересующее нас событие A={произведение двух положительных дробей будет не больше } наступит тогда и только тогда, когда будет выполнено условие . Это неравенство определяет благоприятствующую событию A область g, заштрихованную на рис.4. Учитывая, что , а , согласно формуле (2) найдем .