Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых
ВВЕДЕНИЕ Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии. Именно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. Впервые научная система аксиом Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943) в конце CIC века. Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять. Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. Схема построения геометрии
Перечисляются основные неопределяемые понятия. Формулируются свойства основных понятий - аксиомы. Определяются другие геометрические понятия. Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние. Определение: Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ I. Аксиомы принадлежности I1. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек. Обозначение: А, В, С, D – точки; а, b, с – прямые; a , b , g – плоскости; А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А; Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а; С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С; Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a . Вывод: Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости. I2. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Обозначение: а = АВ Вывод: Прямые, имеющие две различные общие точки, совпадают. I3. Прямая, проходящая через две любые точки плоскости, лежит в этой плоскости. Обозначение: а Ì a – плоскость a проходит через прямую а; b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b. I4. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. Обозначение: a = АВС Вывод: Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.
I5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая. Обозначение: М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l. II. Аксиомы расстояния II1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают. Обозначение: АВ ³ 0. II2. Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А. Обозначение: АВ = ВА. II3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С. Обозначение: АС £ АВ + ВС . III. Аксиомы порядка III1. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О. III2. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а. III3. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой. III4. Любая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р. IV. Аксиома подвижности плоскости Если точки А, В, А1, В1 лежат в плоскости a, причем АВ > 0 и АВ = А1В1, то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А1 а точку В на точку В1. V. Аксиома параллельных Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость. Дано: М, а, М Ï а Доказать: 1. ; 2. . Доказательство: 1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I1): АÎ а, ВÎ а. Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I4): a = МАВ. Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I3): а Ì a . Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: . 2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I4). Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость. Дано: а, b, а ´ b Доказать: 1. ; 2. . Доказательство: 1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: . Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I1): АÎ а, ВÎ b. Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I4): a = МАВ. Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I3): АМ = а Ì a . Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I3): ВМ = b Ì a . Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: . 2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I4). Определение: Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.
Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость. Дано: а, b, Доказать: 1. ; 2. . Доказательство: Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых. 2. Предположим, что существует другая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (аксиома I1): АÎа, ВÎb, МÎb. Получили, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит аксиоме I4. Следовательно, предположение не верно, плоскость а – единственная. Упражнения: 1. Прочитать запись и сделать схематический рисунок: a) ; b) ; c) ; d) . 2. По рисунку назвать: a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС; b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ; c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС; d) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС. 3. По рисунку назвать: a) точки, лежащие в плоскостях DСС1 и ВQС; b) плоскости, в которых лежит прямая АА1; c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А1В1С1; d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и АСD, РВ1С1 и АВС; e) точки пересечения прямых МК и DС, В1С1 и ВР, С1М и DС. 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (728)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |