Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды

Будем рассматривать случай вакуума. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме имеют вид:

Далее значок будет означать, что оператор действует на .

Умножим третье уравнение на , а четвёртое на скалярно. Тогда:

Тогда:

(19.1)

(19.2)

Вычтем из (19.1) – (19.2), тогда получим:

, следовательно

Введём обозначение - объёмная плотность в СГС. И введём вектор Пойнтинга.

- плотность потока энергии электромагнитного поля.

- в СГС.

Тогда

- уравнение непрерывности

В случае среды

Если проинтегрировать по объёму, то:

(19.3)

По теореме Остроградского-Гаусса:

- энергия электромагнитного поля, заключенная в объём с поверхностью .

Тогда (19.3) перепишется в виде:

Если это выражение поделить на площадь , то получим, что - это энергия, переносимая в единицу времени через единицу поверхности. Физическое содержание этого уравнения – закон сохранения энергии.

Если рассматривать объём и если угол между нормалью и острый, то интеграл , т.е. происходит вытекание энергии из объёма . В этом случае

Т.е. происходит убывание в замкнутом объёме за счёт переноса её через поверхность объёма во вне.

Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды.

Умножим третье уравнение Максвелла скалярно на , а четвёртое скалярно на и вычитая из третьего уравнения четвёртое получим:

где , и . Тогда:

-Теорема Пойнтинга в полном виде.

Третье слагаемое описывает процессы диссипации.

, тогда - закон Джоуля-Ленца.

15 § 20. Соотношение между векторами в случае плоских электромагнитных волн в вакууме

В случае плоских волн эти функции есть функции аргументов и ; - нормаль к поверхности фронта волны.

,

Вектор - волновой вектор, где - волновое число. Запишем соотношения:

Первое слагаемое содержит и поперечную и продольную составляющую. Второе слагаемое приводит к продольной составляющей. Чтобы в поле не было продольных составляющих надо положить и надо , т.е. чтобы поле было только поперечным нужно ввести калибровку:

Вообще-то следует из уравнения Максвелла .

Рассмотрим теперь:

Тогда:

Т.е. и ортогональны. Более того

Т.е. и ортогональны. В результате образовалась правая тройка векторов. Ортогональность вектора векторам и означает поперечность волны.

Рассмотрим вектор Пойнтинга:

Для поперечных волн , тогда:

Найдём выражение для , выраженное через одно из полей:

Тогда

Связь вектора Пойнтинга с плотностью энергии:

Значит, направлен по вектору нормали распространения фронта волны