Пространственно-временная дисперсия в электродинамике. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде с пространственно-временной дисперсией
Время релаксации - время установления равновесия при изменении поведения зарядов при наложении на систему зарядов внешнего поля.
Включение или выключение поля не мгновенно изменяет состояние системы зарядов, а требуется некоторое время. На рисунке 1 было поле , в момент времени поле отключили. Тогда на рисунке 2 приведено изменение поляризации системы. - время, за которое исследуемая величина убывает в раз. Если , где - время, в течение которого поле меняется существенно, то можно считать, что исследуемая величина спадает мгновенно Но часто бывает иначе. Для описания того, что с исчезновением поля величина спадает не сразу, используется временная дисперсия: Если диэлектрические свойства стационарны по времени, то Для общего случая: , где - тензор Аналогично, пространственная дисперсия – это влияние поля в соседних точках пространства на поляризацию в данной точке: Для среды, однородной по диэлектрическим свойствам вводится Размерность В общем случае имеем пространственно-временную дисперсию: Интегрирование по по всему пространству, по на Для однородной стационарной среды: - интегральный оператор, а - ядро этого интегрального оператора.
Запишем усреднённые уравнения Максвелла для среды: (23.1) , тогда первое уравнение переходит в . В случаях, когда пространственная дисперсия существенна (кристаллооптика для СВЧ полей) не удаётся измерить оба параметра и , тогда удобно: - это для случая кристаллооптики с учётом пространственной дисперсии. В этом случае четвертое уравнение из системы (1) принимает вид: Это значит, что , т.е. и для описания среды остаётся только 16 § 24. Волновое уравнение в случае среды с пространственной дисперсией Запишем уравнения Максвелла для данного случая: (24.1) (24.2) и уравнение связи . Если сторонних токов нет, то можно ещё привлечь закон Ома . Из (24.1) и (24.2) получим волновые уравнения. Подействуем операторами: на (24.1) на (24.2) тогда получаем: (24.3) (24.4) Правая часть в выражении (24.3) и левая часть в выражении (24.4) совпадают, тогда: (24.5) (24.5) удобно записать в виде: где - некоторый тензор. Распишем в компонентах: , тогда где оператор - тензорный, дифференциальный оператор, он учитывает пространственную дисперсию. Любое поле можно разложить по плоским монохроматическим волнам. Тогда решение уравнения сводится к нахождению и рассмотрению плоских монохроматических волн, этим плоским монохроматическим волнам соответствуют поля следующего типа: Разложение в интеграл Фурье: Операторы заменяем по правилу: Последнее правило действует в случае плоских монохроматических волн. Тогда имеем выражение: Здесь введён тензор , который определяется следующим образом: Решение уравнения зависит и от оператора в левой части, и от правой части. При мы имеем в решении нормальные волны (эти волны идут без источников). 17 § 25. Групповая скорость. Фазовая скорость – это скорость распространения фронта волны. Если сигнал обрывается на каком-то моменте времени, то теряем монохроматичность. Тогда мы можем говорить о спектре частот, с несущей частотой и с разбросом частот . Спектральную характеристику такого сигнала можно представить следующим образом:
Учитывая дисперсию среды (зависимость свойств среды от частоты), получаем искажение сигнала при прохождении среды. Каждая частота распространяется со своей скоростью в среде. Мы будем следить за распространением максимальной амплитуды. , где фаза Зависимость означает дисперсию среды. Разложим в ряд: - такое разложение означает сильную дисперсию. Заметим, что . Разложим фазу в ряд по до линейных слагаемых: Считаем, что на краях интервала сигнал спадает достаточно быстро: , где , а . Тогда
При имеем максимум амплитуды. Скорость перемещения максимума амплитуды находим из условия , ξ = 0. Тогда групповая скорость: Фазовая скорость: Групповая скорость – это скорость распространения сигнала. Найдём связь групповой и фазовой скорости:
18 § 26. Метод самосогласования. Использование метода самосогласования для нахождения электростатического потенциала в плазме. Дебаевский радиус экранирования
Этот метод применяется тогда, когда задача достаточно сложна, но существует повторяющийся элемент в структуре задачи или существует статистическое усреднение. Пусть - параметр, описывающий состояние среды в целом. Выделим элемент среды со свойствами (микросреда). Оставшемуся макрообъему приписываются свойства . Тогда решают задачу Мы получили самосогласованную задачу. Примером такой задачи может служить задача о расчете электрической цепи из бесконечно соединенных сопротивлений.
Метод самосогласования даст решение:
В плазме предполагаем сначала наличие частиц одного сорта. Вводим концентрацию частиц с номером в точке : . - макроскопическое значение концентрации частиц. Условие нейтральности означает: В некотором окрестном объеме суммарный заряд близок к нулю, но нулю не равен: Концентрация заряженных частиц в различных плазмах (космическая, лазерная, и др.) разная и колеблется очень существенно: Часто накладывается ограничение: в плазме должно содержаться много частиц, чтобы проявлялись их коллективные свойства. Используют формулу из статистической физики: - это электростатический потенциал. Запишем уравнение Пуассона для электростатического потенциала в плазме: Используем идею самосогласования для электростатического потенциала. Рассмотрим точечный заряд в плазме, тогда . Запишем всей среды – в ней надо учесть и и плотность зарядов остальной среды. Тогда Используем формулу . В экспоненте стоит потенциал , который и нужно найти. Для упрощения задачи разложим экспоненту в ряд. Если энергия электростатического взаимодействия во много раз меньше энергии теплового взаимодействия, т.е. плазма идеальная, то при условии, что (тепловое взаимодействие много больше электростатического). Условие идеальности плазмы принимает вид: Тогда Подставим в уравнение Пуассона: , где , - дебаевский радиус экранирования. Мы получили уравнение Клейна, оно получается из уравнения Гельмгольца при замене . Решение уравнения Гельмгольца мы знаем: - функция Грина Тогда решение уравнения Клейна: Часто пишут т.е. кулоновский потенциал, умноженный на экспоненту (влияние плазмы). На расстоянии от заряда потенциал убывает в е раз по сравнению с кулоновским и им пренебрегают. Потенциал экранируется зарядами противоположного знака из плазмы. Для реализации коллективных свойств необходимо, чтобы концентрация частиц в объеме плазмы радиуса была много больше единицы, т.е. .
Определение дебаевского радиуса экранирования было дано в предыдущем разделе: (*) С увеличение температуры радиус растет, т.е. происходит размывание дебаевской области. Это происходит за счет теплового движения частиц в плазме. Мы рассматриваем плазму, где нет столкновений между частицами. Опишем это качественно. Пусть - среднее время между столкновениями частиц. Плазма без столкновений – это плазма, в которой столкновения редки, по сравнению с параметрами поля. Пусть - характерное время изменения поля, тогда или Наложим ещё одно условие. Пусть - характерный размер, где расположена плазма, тогда: Так как эффекты, рассматриваемы нами, носят статистический характер, то число частиц в области радиуса должно быть достаточно большим, т.е. . Оценим . , тогда , здесь - концентрация частиц в плазме, причем под понимают концентрацию разных частиц, например, может быть . Под температурой понимают температуру электронного газа. Если все заряды одинаковые, например, электроны, то . Тогда из формулы (*): Условие идеальности плазмы дает нам ограничение: В результате получаем: и
Обычно в плазме К и
19 § 27. Запаздывающие потенциалы. Разложение запаздывающих потенциалов в ряды по малому параметру
Уравнения Даламбера для потенциалов в электромагнитном поле имеют вид: ð ð Здесь ð - оператор Даламбера. Для функции Грина в случае неограниченной среды имеем: ð , где - набор четырех переменных - запаздывающая функция Грина или Тогда Используем свойство -функции: Получаем: Мы получили частное решение уравнений Даламбера, т.е. реакцию среды на внешнее воздействие. Эти потенциалы – запаздывающие. и - это источники поля. Рассмотрим поле на больших расстояниях. Считаем, что выполнено условие:
чем более точно оно выполнено, тем меньше нам нужно брать слагаемых в разложении. Запишем: , где - малый параметр, по которому производится разложение. Разложим подынтегральные функции из и в ряд Тейлора: здесь , , от переменной интегрирования не зависят. Рассмотрим . Здесь интегрирование ведется по всему объему системы с характерным размером . - потенциал кулоновского типа Зависимость - фиктивная, т.е. . Обычно часть не рассматривают, т.к. здесь не происходит излучения. Для излучения заряд должен двигаться ускоренно. Дипольный момент зависит явно от переменной , т.к. он берется в определенный момент времени ( ). Тогда дипольный момент есть функция времени и координат. Интересно, что и связаны между собой калибровкой Лоренца.
20 § 28. Дипольное излучение. Волновая зона дипольного излучения
Дипольное излучение – это излучение системы, определяемое электрическим дипольным моментом. Будем предполагать, что в выражениях для потенциалов учитываются только слагаемые, связанные с дипольным моментом: Потенциалы такого поля и приводят к излучению дипольного типа. Найдём напряженности электрического и магнитного полей: Множитель имеет порядок . Множитель имеет порядок . Отсюда видим, что в от соотношения между и мы можем пренебречь тем или иным слагаемым. Рассмотрим следующие случаи: 1. Волновая зона дипольного излучения, т.е. r >> , но r >>L (для наших разложений). Тогда r >> >>L . 2. Ближняя зона, т.е. , тогда r >>L В волновой зоне и слагаемым можно пренебречь по отношению к и тогда: т.е. для волновой зоны .
Для волновой зоны имеем условие . Тогда Т.е. - это продольная составляющая векторного потенциала. Найдём напряженность электрического и магнитного полей. где . Тогда Дальше можно учитывать ещё слагаемые квадрупольного и других приближений. Магнитный момент системы токов: Если , то можно говорить о магнитном излучении дипольного типа: Можно так же учитывать слагаемые, связанные с излучением квадрупольного типа. Тогда на базе тензора можно ввести вектор . Размерность на одну [длину] больше, чем размерность . (2 случай) и (3 случай) имеют один и тот же порядок малости и следующий по сравнению с (1 случаем), т.е. и , где Соотношение следует из , т.е. Рассмотрим соотношение . Здесь с учетом выражений: и получаем: (2 случай) и (3 случай) надо учитывать, когда - очень мало. Например, для замкнутой системы зарядов, у которых .
21 § 29. Интенсивность дипольного излучения в волновой зоне. Примеры (задачи №23 и №28)
Поля и для дипольного излучения в волновой зоне имеют вид: Интенсивность излучения – величина, определяемая через вектор Пойнтинга: - по замкнутой поверхности, охватывающей излучатель. , где - плотность энергии Угол - это угол, под которым наблюдают излучение.
, при Тогда Пример 1. Заряд, движущийся ускоренно: Эта формула справедлива для зарядов, движущихся с малыми скоростями . Если скорость заряда велика, то надо учитывать эффекты теории относительности, и вместо наших потенциалов надо использовать потенциалы Лиенара-Вихарта. Наш пример показал, что атом в классической теории не может быть устойчивой моделью. Пример 2. Диполь Герца. Дан кусок проволоки, в которой ток меняется по закону . Рассчитать можно, используя либо приближение линейного тока в тонких проводниках либо модель двух сфер, на которые подается пульсирующий заряд. Средняя за период интенсивность составит:
Пример 1 (задача №23) Простейшая линейная антенна представляет собой тонкий прямолинейный провод длины l, по которому течет ток . Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенны в среднем за период колебания тока. Решение Пусть проводник соединяет две сферы. Заряд каждой сферы . В этом случает ток . Таким образом, в целом, система представляет собой простейший диполь: . В результате интенсивность излучения такой системы равна: Интенсивность усредненная, за период колебаний тока , равна: Ответ
Пример 2 (задача №28) Простейшая рамочная антенна представляет собой прямоугольную рамку со сторонами а и b, по которым течет ток . Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенны в среднем за период колебаний тока. Решение По определению магнитный момент линейного тока: . Отсюда интенсивность магнитно – дипольного излучения такой антенны равна: Интенсивность, усредненная за период колебаний: Ответ
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (933)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |