Система зарядов во внешнем электростатическом поле
Рассмотрим распределение зарядов в электростатическом поле, которое зависит от координат. Есть область, где распределён заряд, эту область пронизывают силовые линии поля. Потенциальная энергия этой системы: здесь , где - точка наблюдения. - внутри области, она фиксирована, точка с зарядом – это , тогда: и , где - характерный параметр (из вопроса о потенциале в бесконечно удалённой точке). Напишем разложение функции в точке : Тогда: -интегрируем по Рассчитаем где - суммарный заряд. Используем метод из задачи о вычислении потенциала системы зарядов: Здесь - квадрупольный момент. Каждый последующий член разложения этого ряда относится к предыдущему члену как .
10 § 13. Векторный потенциал системы стационарных токов. Приближение линейного тока
Так как токи и поля стационарные, то происходит разделение в уравнениях Максвелла электрического и магнитного полей: Для потенциала тогда получим (с учетом калибровки Кулона): Частное решение этого уравнения можно найти через функцию Грина: Пусть ищем потенциал в точке , тогда Переход к неограниченной среде даёт: Тогда имеем: В выражении оператор действует на , тогда его можно внести под знак интеграла: Система движущихся зарядов – частный случай. Плотность тока . Тогда : где - скорость заряда в точке . Тогда: Это векторный потенциал системы перемещающихся точечных зарядов. Здесь заряды движутся с , т.е.
Чтобы рассчитать , надо брать от каждого элементарного объёмчика площадку и интегрировать по всему току. Если размеры сечения проводника много меньше его длины, либо когда точка наблюдения сильно удалена, то неоднородностью тока в сечении можно пренебречь. На языке интегралов это пренебрежение сводится к: Это есть приближение линейного тока, т.е. ток течёт по проводнику, сечение которого стремится к нулю. Тогда для потенциала имеем: Если имеется система токов, то формулу можно обобщить:
11 § 14. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля. [Условия квазистационарности поля.]
Уравнения Максвелла в среде: Уравнения связи для однородной изотропной среды: Будем рассматривать немагнитные материалы, т.е. . Случай квазистационарных полей означает, что поля считаем в одних случаях стационарными, а в других случаях – не стационарными. Для квазистационарных полей: 1) , а отбрасываем, т.к. 2) - оставляем как есть. Критерий применимости:
Если , то . Слагаемое . В гауссовой системе единиц имеет размерность как . Составим отношение для сравниваемых слагаемых: Это есть критерий или условие квазистационарности. И тогда: Рассмотрим, как упрощается : (14.1) Запишем закон сохранения заряда в форме уравнения непрерывности: , Используем (14.1), тогда: , где Общее решение этого уравнения: Для сред с высокой проводимостью мала, , где - период, тогда: . Но поле может и не меняться по гармоническому закону, а может меняться как угодно, тогда - время, за которое поле меняется существенно. . Тогда , и Т.е. заряды быстро рассасываются. Значит для квазистационарного случая В итоге получаем для квазистационарного поля систему уравнений Максвелла: В квазистационарных полях есть эффекты: 1)Скин-эффект – быстропеременное поле вытесняется на поверхность проводника. 2)Токи Фуко – переменное магнитное поле создаёт электрические токи внутри проводника.
Условия квазистационарности поля:
1) Мы уже рассмотрели: 2) Характерные параметры линейного проводника характерных параметров поля . - расстояние, на котором поле существенно меняется за время (если пускаем волну, то - длина волны; если изменение поля гармоническое, то - период). 3) Если длина пробега носителя тока – электрона , то она гораздо меньше параметра поля , т.е. . 4) Если носителями тока являются перемещающиеся электроны, то вводим характеристику , где - длина пробега электрона, а - его скорость. Тогда: 3) и 4) позволяют записывать закон Ома без учёта пространственно-временной дисперсии, в простой форме: .
12 § 15. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля
Уравнения Максвелла в случае квазистационарности: Здесь учтено, что и . На два последних уравнения Максвелла подействуем : - уравнение квазистационарного поля Аналогично получаем для : Пусть ; , тогда: где Размерность - параметр глубины проникновения поля . Мы получили уравнение Гельмгольца: Вид решения для зависит от формы области, где ищется решение. В случае полупространства (Z ≥ 0) - где k = k+ получим . Это даёт граничное условие Если k = k-, то это даст граничное условие , что не объясняется ни физически, ни подтверждается экспериментально. Таким образом, следует брать k = k+ -параметр: Для поля аналогично: - решение для полупространства. Будем учитывать проникновение полей и только на глубину , т.к. дальше их проникновение мало, и его можно не учитывать, хотя оно существует.
13 § 16. Уравнения Максвелла электромагнитных волн в вакууме. Волновое уравнение в случае вакуума
Нормальные электромагнитные волны в вакууме – это поля, которые могут существовать в отсутствии источников. Будем рассматривать нормальные волны (т.е. без учёта источников). Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид: Величины и определяют свойства источников поля. Нормальные волны существуют без источников, тогда здесь уравнения Максвелла:
В случае вакуума волновое уравнение принимает вид: ð Аналогичное уравнение получаем для : ð Здесь будем использовать калибровку поперечных волн ( ), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (822)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |