Анализ учебного материала темы «Неравенства» в 8 классе

Тема «Неравенства» является одним из стержней материала школьного курса математики. Это можно объяснить тем, что они применяются в различных областях наук, в решении прикладных задач.

Можно выделить три этапа изучения неравенств:

1) Начальный этап пропедевтического курса (начальные классы)

2) Пропедевтический курс (5-7 классы)

3) Начинается с 8 класса

Начальный этап пропедевтического курса начинается с 1 класса, сочетаясь с изучением арифметического материала. Учащиеся приобретают первые представления о неравенствах – сравнивают числа, сравнивают выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результат сравнения с помощью знаков «>», «<», «=» и читать полученные неравенства.

Первоначально у школьников начального звена формируется понятие только о верном неравенстве. Числовые неравенства школьники получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Знаками «>», «<», «=» соединяются те выражения или числа, между которыми есть указанные отношения.

Введение представления о неравенствах в начальной школе связывается непосредственно с изучением арифметических действий и нумерации.

В 5-7 классах полученные знания закрепляют и повторяют. Осмысливание символов «>», «<», «=» происходит в процессе выполнения достаточного количества упражнений на сравнение чисел с активным использованием координатной прямой и сравнение значений величин.

После изучения буквенных выражений задания по неравенствам усложняются, но термин «решить неравенство» не используется, т.к. буква означает некоторое число и, кроме того, неравенство рассматриваются на конечных множествах значений, входящих в него букв.

В 5-7 классах пропедевтический курс понятия неравенства осуществляется через систему заданий. В основном неравенства используются для сравнения чисел и значений выражений. Кроме этого, через неравенства формируются представления о свойствах бесконечности, плотности множества чисел на конечных числовых интервалах, представления о логических функциях (верно или неверно неравенство при определенном значении буквы).

В курсе алгебры начинается основательное и подробное изучение неравенств. Рассмотрим учебники 8 класса, которые входят в Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации:

1. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. Носителе / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] : под пер. С. А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2013. – 287 с.

2. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. М, Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]. – М. : Просвещение, 2013. – 336 с.

Учение о неравенствах в курсе алгебры 8 класса в учебнике Ю. Н. Макарычева разделяется на следующие части:

Материал в учебнике по данной теме представлен в 4 главе. Состоит из 2 параграфа и 8 пунктов.

А в учебнике Ю. М. Колягина учение о неравенствах в курсе алгебры 8 класс разделяется на следующие части:

Тема «Неравенства» изучается в 1 главе. Глава состоит из 10 параграфов.

Если рассмотреть содержание этих учебников, то можно увидеть разницу в определенных темах:

- в учебнике Ю. Н. Макарычева рассматривается тема «Погрешность и точность приближения» внутри параграфа «Числовые неравенства и их свойства». В учебнике Ю. М. Колягина эта тема находится как отдельная глава «Приближенные значения» после главы «Неравенства».

- в учебнике Ю. М. Колягина сначала как отдельный параграф рассматривается тема «Положительные и отрицательные числа».

- в отличие от учебника Ю. Н. Макарычева в учебнике Ю. М. Колягина есть параграфы «Строгие и нестрогие неравенства» и «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль».

- если в учебнике Ю. Н. Макарычева тема «Неравенства» изучается после тем «Квадратные корни», «Квадратные уравнения», в учебнике Ю. М. Колягина наоборот: сначала «Неравенства», потом «Квадратные корни», «Квадратные уравнения».

В учебнике Макарычева Ю. Н. каждый пункт главы содержит теоретический материал, примеры, которые являются образцами применения теории в решении задач. Имеются задания различной степени трудности. Задачный материал разбит на следующие основные блоки: обязательные задачи, дополнительные задачи и задания повышенной трудности.

В учебнике Колягина Ю. М. каждый параграф содержит теоретический материал, примеры, которые являются образцами решения. Упражнения делятся на: устные вопросы, вводные упражнения и упражнения. Задачный материал разбит на следующие блоки: обязательные упражнения, дополнительные более сложные упражнения, трудные упражнения. В каждом параграфе есть колонка «Шаг вперед», где находятся упражнения для опережающего изучения.

На тему «Числовые неравенства» в учебнике Макарычева Ю. Н. сначала рассматриваются несколько примеров без разности чисел. После этих примеров дается определение:

Число a больше числа b, если разность a-b – положительное; число a меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число.

Рассмотрим один из примеров:

1. Сравним обыкновенные дроби . Для этого приведем их к общему знаменателю: Так как 35>32, то

А в учебнике Колягина Ю. М. первым же примером рассматривается их разность и дается определение:

Сравним, например, числа Для этого найдем их разность:

Следовательно, , т.е. получается прибавлением к числу положительного числа Таким образом, , так как их разность положительна.

Также в обоих учебниках рассматриваются неравенства геометрически через числовую ось.

По теме «Свойства числовых неравенств» в учебнике Макарычева Ю.Н. рассматриваются 4 теоремы:

1. Если

2.

3.

4.

После рассмотрения этих теорем предлагается следствие:

В учебнике Ю. М. Колягина рассматриваются все данные теоремы, кроме первого.

По теме «Сложение и умножение неравенств» в двух рассматриваемых учебниках даются по две теоремы о сложении и умножении неравенств и они полностью совпадают.

Если в учебнике Ю. М. Колягина следующий параграф называется «Неравенства с одним неизвестным», то в учебнике Ю. Н. Макарычева тема называется «Неравенства с одной переменной» и оно начинается с пункта «Пересечение и объединение множеств». В учебнике Ю. М. Колягина эта тема не встречается как отдельный параграф. Когда как тема «Числовые промежутки» в учебнике Ю. Н. Макарычева рассматривается как отдельный пункт, в учебнике Ю. М. Колягина она расположена вместе с темой «Системы неравенств с одним неизвестным».

Тема «Неравенства с одним неизвестным» в учебнике Ю. М. Колягина начинается с решения текстовой задачи, после этого дается определение неравенства. А в учебнике Ю. М. Колягина не дается определение неравенства, а сразу приступают к решению неравенств. Даются два свойства, которые используются при решении неравенств:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенств.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Рассмотрев эти два учебника можно прийти к выводу, что, как пример, авторы в основном привели текстовые задачи, которые более связаны с жизнью. Это можно объяснить тем, что тема «Неравенства» является стержнем школьного курса алгебры.

Для разработки модульной программы по теме «Неравенства» был выбран учебник Ю. Н. Макарычева.