Условия излучения упругих волн.

Рассмотрим закономерности излучения упругих волн, возникающих в результате периодического изменения объема однородного тела в жидкости.

Пусть скорость смещения всех участков поверхности тела направлена по нормали к поверхности и определяется периодической функцией V(t).Под действием движения поверхности в жидкости возникнут периодические сжатия и разряжения, которые будут распространяться в виде упругих волн. Будем считать, что поверхность совершает малые колебания. В этом случае задача об излучении упругих волн сводится к решению волнового уравнения относительно потенциала скорости:

.

(1.1)

Необходимо найти решения волнового уравнения, которые удовлетворяют граничному условию на поверхности колеблющегося тела.

Граничные условия:

1) изменение потенциала по нормали к поверхности излучателя должно равняться величине колебательной скорости (с обратным знаком) как функции времени

.

(1.2)

2) условие излучения Зоммерфельда:

потенциал на бесконечности должен обращаться в нуль:

(1.3)

Найдем полную мощность упругих волн в двух крайних случаях:

1 - при низких частотах, когда волновые размеры колеблющегося тела значительно меньше единицы

;

(1.4)

2 - в случае высоких частот, когда

(1.5)

Излучение низких частот

При излучении низких частот движение жидкости на расстояниях r<<l подчиняется уравнению Лапласа и жидкость можно считать несжимаемой. Вблизи излучателя есть область среды, где действует не волновое уравнение, а уравнение Лапласа, где жидкость несжимаема. Шарик, расположенный в среде и являющийся излучателем, изменяет объем. Изменение объема распределяется по поверхности радиуса r и несжимаемая область передает изменения объема шарика, т.е. колебания.

В результате потенциал скорости вблизи поверхности колеблющегося тела выражают следующей формулой:

(1.6)

На больших расстояниях от тела решение должно удовлетворять не уравнению Лапласа, а волновому уравнению (1.1) и представляет собой расходящуюся волну. Оно должно выражаться функцией:

.

(1.7)

Полная мощность излучения равна:

.

(1.8)

Интегрирование проводят по поверхности сферы. Этот результат показывает, что для низких частот полная мощность излучения пропорциональна квадрату объемного ускорения .

Объемное ускорение при гармонических колебаниях пропорционально амплитуде смещения. Т.о. полная мощность излучения длинных волн пропорциональна четвертой степени частоты:

(1.9)