Элементарные излучатели

Пульсирующая сфера или излучатель нулевого порядка. Пульсирующей сферой называют шаровой излучатель, все точки которого колеблются по закону

,

где - скорость колебания точек по нормали;

- циклическая частота.

В процессе колебаний изменяется радиус пульсирующей среды. На рис. 4 показано схематическое изображение пульсирующей сферы. Звуковое поле вокруг сферы определяют волновым уравнением в сферических координатах. Скорость колебаний поверхности сферы не зависит от угловых координат. Граничное условии для решения уравнений:

.

(1.24)

 

 

Для акустического поля пульсирующей сферы:

,

(1.25)

где .

 

(1.26)

 

Основные характеристики пульсирующей сферы: импеданс, присоединённая масса, предельный коэффициент излучения.

По определению импеданс есть ,

где F - сила реакции, V- колебательная скорость.

При r=aвыражение для механического импеданса пульсирующей сферы:

(1.27)

.

Отделим действительную часть от мнимой. Получим активное Хи реактивное Yсопротивления:

,	(1.28)
.	(1.29)

Присоединённая масса пульсирующей сферы есть отношение мнимой части импеданса к частоте

,

(1.30)

где М₀– масса жидкости в объеме шара радиусом а.

Предельный коэффициент излучения. По определению .

Отношение реактивного сопротивления пульсирующей сферы к активному равно: . Отсюда

,

(1.31)

Характеристика направленности пульсирующей сферы То есть характеристика направленности имеет форму сферы.

Монополь или точечный источник. Монополем или точечным источником называют источник волн произвольной формы, создающий ненаправленное излучение, при условии, если длина волны значительно больше линейных размеров источника.

Поэтому поле точечного источника совпадает с полем пульсирующей сферы малого радиуса. Если в формулах поля пульсирующей сферы перейти к пределу, когда , то мы получим формулы для поля точечного источника:

(1.32)

Эти формулы можно получить и не из формул для пульсирующей сферы. Они непосредственно вытекают из общей теории излучения.

Акустический диполь. Акустическим диполем называется источник, состоящий из двух точечных источников, расположенных близко один от другого и имеющих одинаковые производительности и противоположные фазы. М - точка наблюдения. Два источника образуют суммарное поле в точке М. На рис.5 показано схематическое изображение диполя.

При dl<<r направление на источник определяется углом q, значения которого считаются одинаковыми от средней точки диполя и крайней.

Потенциала скорости в точке М:

 

,

(1.33)

где - объёмный акустический момент диполя.

Это выражение является исходным для определения давления и колебательных скоростей поля акустического диполя. Колебательная скорость для акустического диполя будет иметь две компоненты, каждая из которых зависит от своей полярной координаты (r,Q).

Используя обычные соотношения, получим формулы звукового давления и колебательной скорости диполя. Эти формулы запишем в виде комплексных функций:

 

, , .

(1.34)

В отличие от поля точечного источника поле диполя имеет некоторую направленность.

Таким образом, в результате интерференции двух когерентных точечных источников с противоположными фазами формируется направленность акустического диполя.

Осциллирующая сфера - излучатель первого порядка. Осциллирующей сферой называют поверхность шара постоянного радиуса, все точки которой совершают малые колебания в одном направлении. Схематическое изображение осциллирующей сферы показано на рис.6.

Для того чтобы найти параметры поля и определить характеристики осциллирующей сферы используем формулы акустического диполя, т.к. характер движения окружающей среды вблизи этих излучателей одинаков.

Осциллирующая сфера при перемещении точек её поверхности сначала в одном, затем в противоположном направлениях физически соответствует наличию как бы двух источников, работающих в противофазе. МножительВ в (1.34) можно определить на основании условия непрерывности колебательной скорости на поверхности сферы.

Предположим, что амплитуда скорости центра сферы . Нормальная составляющая скорости точки поверхности шара, имеющей полярный угол , равна . На основании непрерывности нормальной составляющей скорости:

(1.35)

при r=a, получим:

.

(1.36)

Функция потенциала скорости и остальные величины поля осциллирующей сферы будут иметь вид

,	(1.37)
,	(1.38)
,	(1.39)
.	(1.40)

 

Характеристики излучения осциллирующей сферы. Механический импеданс.

.

(1.41)

 

Присоединённая масса. Присоединённая масса осциллирующего шара определяется формулой:

.

(1.42)

Предельный коэффициент излучения. Предельный коэффициент излучения определяется выражением

.

(1.43)

Характеристика направленности. Характеристика направленности такая же, как у диполя. Если рассматривать каждые две противоположные точки осциллирующей сферы, колеблющиеся в противофазе как дипольный источник, то осциллирующую сферу можно представить как совокупность диполей, состоящих из точек, образующих две полусферы. В соответствии с теоремой смещения для направленности, характеристика направленности такой сложной антенны соответствует проекции этой антенны на плоскость, перпендикулярную поверхности антенны. Применяя последовательно теорему два раза, в проекции получим антенну состоящую из диполей, расположенных по одной линии. А характеристика направленности такой антенны равна характеристике направленности диполя. . Различия для этих элементарных источников будут в производительности и импедансе излучения.

Задача 2

 

Даны осциллирующая и пульсирующая сферы диаметрами d = 10 см. Сферы работают на двух частотах: f₁= 1,5 кГц и f₂ = 150 кГц, рабочая среда – вода.

Найти:

1) активную х и реактивную y составляющие механического импеданса для каждой из сфер на низкой f₁ и высокой f₂ частотах;

2) частоту (для обеих сфер), при которой активная составляющая импеданса равна реактивной;

3) для пульсирующей сферы найти частоту, при которой активная составляющая импеданса отличается на 10% от его модуля;

4) построить диаграмму направленности осциллирующей сферы в декартовой и полярной системах координат;

5) Построить зависимость x(ka) и y(ka) для пульсирующей и осциллирующей сфер, если а=10 см.

Решение

1. Вычислим активную и реактивную составляющие осциллирующей и пульсирующей сфер для двух частот : f₁= 1,5 кГц и f₂ = 150 кГц. Результаты занесем в таблицу.

 

Осциллирующая сфера	Результаты
НЧ (f1)	ВЧ (f2)
	2,356×103 кг/с	6,283×104 кг/с
	2,275×104 кг/с	1,0×103 кг/с
; для НЧ	2,41 кг	1,06×10-3 кг
Пульсирующая сфера
	5,33×104 кг/с	1,884×105 кг/с
	8,49×104 кг/с	2,99×103 кг/с
- масса жидкости в объеме шара радиусом а	9,01 кг	3,182×10-3 кг

 

Анализ полученных результатов показывает, что на одной и той же частоте активная и реактивная составляющие механического импеданса у пульсирующей сферы намного больше соответствующих составляющих осциллирующей сферы. Присоединенная масса у пульсирующей сферы тоже больше, чем у осциллирующей сферы.

2. Приравняем активную и реактивную составляющие механического импеданса:

для пульсирующей сферы:

или отсюда .

 

Отсюда частота равна:

Гц.

Для осциллирующей сферы имеем

Если это уравнение решить графически относительно произведения волнового числа на радиус сферы (см. рисунок 8), то получим .

Отсюда длина волны ® м,

а Гц.

 

3. Найдем частоту, при которой активная составляющая механического импеданса на 10% меньше самого механического импеданса.

Запишем равенство

,

где %.

Решим этого уравнения на ПК с помощью прикладной программы MahtCad

,

т.к. , Гц - частота на которой активная составляющая на 10% меньше механического импеданса для пульсирующей сферы.

Для осциллирующей сферы

Гц.

1. Характеристика направленности осциллирующей сферы определяется по формуле (см. теоретическую часть):

.

На рис. 7 построена эта диаграмма в декартовой (а) и полярной (б) системах координат

а) в декартовой системе координат	б) в полярной системе координат
Рис. 7. Характеристика направленности осциллирующей сферы

:

5. Построим зависимости активной и реактивной составляющих механического импеданса пульсирующей и осциллирующей сфер. Они имеют вид представленный на рисунках 8-9.

 

Рис. 8. Зависимость активной и реактивной составляющих механического импеданса для пульсирующей сферы

 

Рис. 9. Зависимость активной и реактивной составляющих механического импеданса для осциллирующей сферы