Концепция «формалистов» (Д.Гилберт и его сторонники) в ходе полемики по основаниям математики. Современные следствия этой концепции.

Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, породили еще одно течение - формализм. Первые выступления формалистов связаны с именем крупнейшего немецкого математика Д. Гильберта и относятся к 1902-1904 гг. Но основные идеи этого направления сложились позднее в полемике с интуиционизмом.

Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была поколеблена. Гильберт, заявив что интуиционизм стремится "развалить и изуродовать математику", и ставит целью вернуть ей прежнюю уверенность. В двадцатые годы Гильберт, его сотрудники и соратники В. Аккерман, И. Бернайс, фон Нейман и др. приступают к математической разработке программы формализма. В 1934 г. вышел первый том "Оснований математики", в фундаменте которого лежала теория доказательства.

Гильберт подверг критике оба предшествующих направления.

В противовес интуиционизму он утверждал, что интуиция не может быть исходным базисом математических построений, поскольку она неопределенна, расплывчата чтобы получать надежные выводы. Одновременно Гильберт расходится и с логицистами, утверждая, что логика не предваряет математику, ибо прежде, чем оперировать по законам логики со знаками, надо эти знаки иметь, то есть располагать объектами, поддающимися логическим операциям. Никакая наука, в том числе и математика, не может, по его мнению, быть основана только на логике. Следовательно, ни интуиция, ни логика не могут стать оправданием математики, ее базисом. Основанием математики является, по Гильберту, сама математика, именно ее внутренняя непротиворечивость.

Предлагая новое решение проблемы обоснования, Гильберт исходил из идеи, что содержательная математика не может быть логически противоречивой, иначе она вела бы к ошибкам в практической деятельности.

В качестве исходной и единственной реальности, с которой имеет дело математика, являются, по мнению Гильберта, знаки. Речь идет у Гильберта о внутриматематичском языке, об отношении знака к знаку, а не о том, какова связь математических объектов с внешней реальностью, каковы механизмы абстрагирования, эмпирической обработки чувственно данного, которые приводят к появлению символики. Оперируя со знаками, вычисляя, комбинируя и т.п., математик забывает о предметах природы, которые они могут представлять. Этим достигается полная строгость и ясность. Отвлечение от содержательных аспектов знака, по Гильберту, совершенно необходимо.

Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики, в которой в качестве исходных образований фигурируют абстрактные символы, а вместо содержательных предложений (аксиом, теорем и т.п.) - сочетания символов. Таким образом, все составляющие математику предложения оказываются формулами.

Имея такую формализованную систему, можем провести прямое (не выходящее за рамки системы) доказательство ее непротиворечивости. Это и есть абсолютное, без каких-либо ссылок на эмпирию, на интерпретационные модели, доказательство. Оно имеет алгоритм и цель. Алгоритм заключает три шага: 1) предъявляется формула; 2) что из предъявленной формулы следует другая (правила заданы). И эта другая - следствие либо из аксиом, либо из ранее доказанных теорем; 3) предъявляется другая формула.

Свои методы Гильберт назвал финитными: они не используют ни бесконечных множеств структурных свойств формул, ни бесконечных множеств операций над формулами.

Так было получено понятие доказательства абсолютной непротиворечивости формальных систем, а вместе с ним, как полагал Гильберт, - и доказательство непротиворечивости математики. Вывод, к которому приходит формалистское направление, состоит в том, что обоснование математики в ней самой. В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильберта не выполнима. Идеи Геделя оказали столь сильное влияние, что дальнейшее развитие логики шло уже под знаком тех выводов, которые были получены Геделем.

Безусловно, выводы Геделя имеют более широкое, чем критика формализма, применение. Теоремы выявили ограниченность подходов школы Гильберта. Замыкая проблему обоснования математики на самой математике, формализм подменил вопрос об истине ее утверждений требованием непротиворечивости. Но не все сводимо к синтаксису знаков (например, чисел) и их соединению в формулы. На развитие математики оказывают влияние проблемы, связанные с выяснением предметного значения символов и их сочетаний (формул), а также вопросы практического назначения знаков, использование достижений математики в прикладных аспектах, в решении конкретно-научных, производственных, технологических и т.п. задач. Короче, наряду с синтактикой выполняют важную роль также семантика и прагматика.

ФОРМАЛИСТЫ – идейным вдохновителем был нем. мат-к Давид Гилберт, который выдвинул след предположение: проблемы мат-ки могут быть решены методами мат-ки. Просто для этого надо построить математику. Поначалу работа шла очень успешно, но проблемы возникли при отражении нефинитных послед-тей (шаг за шагом, нет конца решения). Формалисты также не смогли решить проблему основания мат-ки. Положит. сторонами учения является то, ч то они сделали 1 шаг в построении унитарного облика математики. Работа формалистов по сути дела это 1 шаг к постнеклассич. облику мат-ки, т.е. явно выраженная неклассика мат-ки.