Концепция «интуиционистов» (Л.Э. Брауэр и др.) в полемике по основаниям математики. Современные следствия результатов их исследований.

Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг, чуть ранее Л. Кронекер и др.) исходили из того, что математика не может быть сведена к логике, ибо уходит в структуры мысли глубже ее, логика связана с языком, который, как показали парадоксы, несовершенен. Поэтому математика не нуждается ни в языке, ни в логике, ибо невербализуема и, будучи независимой, автономной от языка, опирается на интуицию. Как полагает голландский математик Я. Брауэр, считающийся основателем интуиционизма, математические мысли рождаются вне слов, слова используются только для передачи мысли, математическое содержание которой не зависит от словесного одеяния. Вместе с тем это не означает отрицания роли логики вообще. В ней есть для интуиционизма ценное. Брауэр, например, выделяет интуитивно приемлемые логические принципы, которые можно использовать. Только необходимо проводить анализ границ их применимости.

Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарат), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего - понятия бесконечности. Первично математическое мышление, а язык и логика суть несовершенные способы его выражения. Достичь точности и должна помочь интуиция. Необходимо, чтобы все построения опирались только на те утверждения, которые санкционированы изначальной интуицией.

Интуиционизм, нащупывал выход к другим основаниям, в истоках которых находится, как выражались иные, "математика качеств". Она связана не со сложением, а с операцией деления, когда "два" является не внешним повторением "одного", а внутренним результатом его саморасщепления.

Другим важным пунктом интуиционистской программы был пересмотр принципов конструирования систем математических объектов. Брауэр полагал, что они должны формироваться на базе некоторых принципов построения, но не вводиться в математический обиход с самого начала целиком, как множества, отвечающие требованиям заданных аксиом.

Все это существенно меняло подход к обоснованию математики. С точки зрения интуиционизма существование объекта оправдано, если он задан эффективным определением, указывающим способ (алгоритм) построения. Наиболее адекватно отвечают этому генетические, фиксирующие происхождение объекта, определения. В свете новых идей пересматриваются интуиционизмом и логические принципы.

В итоге, интуиционистское направление не смогло выполнить обещаний, и предложить эффективные методы обоснования математики.

Попытка осуществить демонстрацию возможности существования математического объекта, опираясь на идеи интуиционизма, успехом не увенчались. С самого начала выступлений интуиционистов возникло немало вопросов, нуждающихся в разъяснении, но так и не получивших его. Прежде всего дело касалось фундаментального понятия базисной интуиции, ссылкой на которую и демонстрировалось оправдание факта введения объектов математики. Было заявлено о безусловной надежности актов изначальной интуиции, ее безупречной точности в качестве единицы математического мышления, благодаря чему, якобы, удается избежать неопределенностей, сопровождавших классическую математику.

Тем не менее заявления лидеров интуиционизма были достаточно претенциозными, а их критика традиционной математики носила временами сокрушительный характер. Все это не могло не вызывать соответствующей реакции математиков, в свою очередь, не стеснявшими себя в выражениях. Характеризуя усилия интуиционистов, Гильберт писал, например, что Вейль и Брауэр, стремясь спасти математику, "выбросили за борт все, что причиняет беспокойство. Они крушат и рубят науку. Если бы приняли такую реформу, которую они предлагают, то мы подверглись бы риску потерять большую часть наших самых ценных сокровищ"100 . Словом, от математики после ее переделки остаются, по мнению ряда видных ученых, жалкие остатки в виде немногочисленных и не связанных друг с другом единичных результатов по сравнению с могучим размахом современной математики. Не случайно Н. Бурбаки назвал интуиционизм "историческим курьезом".

Таким образом, интуиционизм не принес успокоения в математику. Многие ее разделы оказались в свете интуиционистских установок неприемлемыми.

ИНТУИЦИОНИСТЫ (голл. мат Брауэр) – сделал попытку как-то отразить дин-ку нефинитных послед-тей. Основ. понятием интуиционистов стало понятие свободно становящейся послед-ти: хорошим образцом свободно становящейся послед-ти является становление морозного рисунка на стекле.

Если человек плохо знает мат-ку, то никакой интуиции и тем более свободно становящейся послед-ти у него нет. Если есть, то человек чаще всего сам каким-то путем будет двигаться при решении проблем. Можно при этом йути от мат-ки и обратиться к тому множ-ву связей, которые есть на поле данных проблем, построенных на многих данных. Так, онтологически понятая модель свободно становящейся послед-ти очень похожа на пространство приведенных координат Герфендаля. И то и другое – это матем. модель ВУС, имеющейся во сем мире. Эти идеи были выдвинуты Брауэром раньше чем идеи Герфендаля.

Свободно становящейся послед-ть более чем на 50 лет опередила идеи синергетики и, т.е. мат-ка идет на шаг впереди. С работами Брауэра хорошо сочетаются работы сов. академиков Лузина и Александрова. Ряд мат-ков во главе с акад. Марковым пытались развить эти идеи, но далеко не ушли.

Интуиционисты также не решили проблему основания мат-ки. Они указали пути решения проблем. Это указание состоит в онтологич. понимании свободно становящейся послед-ти. Свободно становящейся послед-ть в онтологич. понимании хорошо пересекактся с концепцией голографич. вселенной Дэвида Бома. Голографичность Вселенной состоит в том, что все ее компоненты связаны со всеми. Такая же суть и у свободно становящейся послед-ти. Отсюда берет начало концепция нечетких множеств Заде («Теория лингвистической переменной»), а также не далеко до концепции теории категорий и функторов Эленберга-МакКлейна.

5. Основания построения унитарного и поливариантного облика унитарности математики. Неклассика и постнеклассика математики.

Осознавая, что каждое из направлений объединяет какие-то важные грани математики и потому имеет право на существование, их лидеры договорились о встрече. Она произошла в сентябре 1930 г. в Кенигсберге на симпозиуме, организованном редакцией известного тогда позитивистского журнала "Erkenntnis". Там впервые встретились деятели всех трех течений. Логицизм представлял Р. Карнап, интуиционизм - А. Гейтинг, формалистское направление - Д. фон Нейман.

Участники симпозиума пытались понять друг друга, хотя каждый все же считал, что именно его точка зрения правильная, и никакой иной подход не вправе считать себя математическим. Тем не менее ситуация, характерная для периода конца XIX - начала XX столетий, изменилась, и если еще в недавнем прошлом между школами шли непримиримые сражения, и никто не хотел внимать другому, то теперь вражда сменилась хотя и не полным согласием, но по крайней мере перемирием, желанием понять соперника.

Среди попыток нового подхода к проблеме обоснования во 2 половине XX века выделяют наиболее обозначившиеся аксиоматическое и неаксиоматическое (теоретико-категориальное) направления.

Современное аксиоматическое течение представляет попытку спасти аксиоматику как метод обоснования, подправив Г. Кантора. Его подход сочли ограниченным, а сам вариант назвали "наивной теорией множеств". Поскольку у Кантора множество не определено и принимается остенсивно (путем указания на объект), то есть как простая совокупность элементов, это означало, что любой набор элементов уже представляет собой множество. Именно такое понимание и вело к парадоксу "множество всех множеств": о существовании и несуществовании самого мощного множества. Новый подход, предложенный Э. Цермело и А. Френкелем, был связан с идеей отказа от понятия "наибольшее кардинальное число" и от понятия "множество всех множеств". Тем самым можно обойти указанный парадокс. Проводя аксиоматизацию теории множеств, Г. Кантор (за ним и остальные математики) верили в непогрешимость результата, верили, в возможность избежать противоречий. Однако противоречия, как видим, заявили о себе и основательно всколыхнули математику. Не произойдут ли сходные события при нынешних попытках? На сей счет А. Пуанкаре остроумно предостерег созидателей новых аксиоматик, заявив. Мы соорудили ограду вокруг стада овец, чтобы защитить их от волков. Но нет ли волков среди самого стада?

Одновременно с попыткой аксиоматического обоснования математики во 2-ой половине XX столетия развивается и неаксиоматическое направление. Оно представлено в основном группой математиков (по преимуществу французских), объединенных под коллективным псевдонимом Николай Бурбаки(многотомный трактат "Элементы математики"). Сюда входят А. Кортан, Ж. Дьедонне, однофамилец Германа Вейля Анри Вейль, С. Эйленберг и др.). Лидеры этого направления, называемого литературе теоретико-категориальным, исходят из того, что ценность аксиоматики не в уточнении языка математики, а в установлении единства между всеми ее разделами. Этого можно достичь в силу того, что математика, по Бурбаки, представляет "скопление абстрактных структур", абстрактных форм. Математическую структуру отличает от структур, выделяемых остальными науками то, что здесь отвлекаются от конкретных характеристик как объектов, охватываемых структурой, так и самих структур, поскольку математика вообще не изучает отдельные вещи, а лишь их отношения, но и отношения здесь особые, ибо они не задаются свойствами вещей.

Н. Бурбаки выделяет три основных (порождающих) типа математических структур. Это - алгебраические структуры, когда третий элемент определяется по двум первым; структуры порядка, фиксирующие отношения упорядоченности, обычно выражаемые в языке многоместными предикатами "равно", "больше", "меньше"; топологические структуры, построенные на реализации свойств непрерывности. Кроме того на основе сочетания порождающих структур задают производные структуры.

Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категориальный) показывает, что проблема философского обоснования такова, что она постоянно остается проблемой и, очевидно, таковой и в дальнейшем. Теории обоснования не похожи на здания, развалившиеся при замене фундаментов. Их лучше уподобить растущему организму с частями хрупкими и взаимно друг друга уравновешивающими.

Процесс обоснования - это процесс поиска своего рода "вечной" истины. Он не может иметь окончания, но каждый его шаг обогащает наше понимание, продвигая к более полному знанию. "Достоверность" никогда не может быть достигнута, "основания" никогда не могут быть обоснованы, - пишет И. Лакатос, - но "хитрость разума" превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики".

Поэтому, решая проблему обоснования, надо учитывать два обстоятельства.Скорее можно добиться успеха, действуя не разрозненными, а общими усилиями. Учитывая особенность задач философского обоснования математики необходимо признать, что "закрыть" эту тему не удастся, потому что систематическое появление различных направлений убеждает в невозможности ни одного из них претендовать на решение, с которым согласились бы все и которое тем самым закрыло бы самое проблему обоснования. Проблема тем и отличается от конкретно-математических, что предполагает и располагает мысль к разнообразию подходов в решении, а это стимулирует переосмысление методов в понимании основ математики, ее предмета.

Отсюда и неизбежность возникновения все новых течений в обосновании. Не исключено появление принципиально иных подходов к обоснованию, Таких, которые совершенно меняют ракурс понимания математики. И они наметились.

В частности, рядом математиков и логиков (в их числе И. Лакатос, Л. Кольмар, П. Бернайс) высказывается мысль о том, что математика должна получить объяснение существованию своих объектов из опыта. В связи с этим подвергается критике известная позитивистская идея противопоставления логико-математического знания как формального, не несущего информации о мире, фактуальному, то есть естественно-научному знанию, обогащающему нас сведениями о внешней действительности.

Так, например, венгерский математик Л. Кольмар на коллоквиуме в Голландии еще в 1967 г. в докладе "Основания математики. Куда теперь?" говорил: "Я предполагаю, что исследование проблем эмпирического обоснования математики будет одним из основных направлений в будущем, если не основным".

Интересную идею высказывает В.И. Метолов. Он считает, что поскольку традиционно проблема обоснования и проблема развития математического знания обособлены, это ведет к противоречиям. Оно в том, что, с одной стороны, основания принимаются очевидными, такими, которые сами уже не нуждаются ни в каком обосновании. С другой стороны, предполагается из найденных оснований реконструировать всю науку (или ее фрагмент). Но это ведет к противоречию. Раз основания не нуждаются в обоснованиях, значит, они отличны от обосновываемого знания. Между тем, они же должны позволять воспроизводить науку, то есть обладать общими чертами с обосновываемым знанием. Выход, по мнению В.И. Метлова, - в отказе от идеи элементарности (которая, впрочем, уже показала свою несостоятельность) и осмысление проблемы с позиции учета субъектно-объектных отношений и активной роли субъекта в познании. Это позволяет связать в одно целое проблемы обоснования математики и ее развития.

Наконец, высказывается и такой взгляд, что основания математики в общем-то не обязательно и осуществлять.

Именно в силу того, что обсуждаются фундаментальные вопросы науки, концепции обоснования стимулируют развитие математики. Без мировоззренческого осмысления своих понятий и законов никакая область знания не способна успешно идти вперед. Проблема обоснования возникла не в качестве довеска к математике, не в качестве логической роскоши, а потому, что, осознав собственный базис, математика получает мощные дополнительные стимулы эволюции.

ЛЕКЦИИ Интуиционисты также не решили проблему основания мат-ки. Они указали пути решения проблем. Это указание состоит в онтологич. понимании свободно становящейся послед-ти. Свободно становящейся послед-ть в онтологич. понимании хорошо пересекактся с концепцией голографич. вселенной Дэвида Бома. Голографичность Вселенной состоит в том, что все ее компоненты связаны со всеми. Такая же суть и у свободно становящейся послед-ти. Отсюда берет начало концепция нечетких множеств Заде («Теория лингвистической переменной»), а также не далеко до концепции теории категорий и функторов Эленберга-МакКлейна.

Категории – это понятия, в которые зачастую входят сразу несколько матем. теорий. Функторы – многоуровневые связи между многими понятиями.

Соврем. мат-ка строится на единстве линейн. множ-в Гантера и нелин. множ-в Заде, на основе теорий категорий и функторов, след-но, мат-ка приобретает не унитарный облик а поливариантный облик множ-ва непересекающегося множества унитарных обликов, т.е. получился поливариантный облик унитарной мат-ки.

Если иметь ввиду, что мат-ка отражает многоуровневые связи в реальном мире, то унитарный облик мат-ки - это математич. картина ВУС, имеющаяся на сегодняшний день.

Соврем. матем. знание дает значит простор совр. науке в поиске модели отражения исследовательских процессов. Это касается и соврем. синергетич. моделей. Из сказанного следует, что между совр. фил-ей и совр. наукой сложился очень мощный слой общенаучного знания в облике постнеклассич. матем. логики. Матем. науки для исследования неизолир. систем - это вероятностные и стат. методы, теория систем, теория информации, кибернетика, синергетика.