Полемика по основаниям математики. Концепция «логицистов» (Б.Рассел и А.Уайтхед). Современные следствия этой концепции.

Основания «необъяснимой» гибкости математики в научном исследовании. Классика, неклассика и постеклассика математики.

Математика и логика – это исторически первый уровень общенаучного знания, они применяются во всех отраслях науч. знания, что и делает их 1 из уровней общенаучного знания.

В ходе развития научного знания ученые не раз ставили с вопрос: откуда у мат-ки такая непостижимая гибкость? В античн. времена большую известность приобрела математич. и философ. школа пифагорейцев. Пифагор и его ученики пытались объединить матем. и фил. учения. Кто-то сказал: «Мат-ку стоит изучать лишь за то, что она приводит ум в порядок!»

Школа Пифагора известна целым рядом достижений в мат-ке: теорема Пифагора, признаки делимости, теория простых чисел, они первооткрыватели «золотого сечения», просчитали тональность струны в зав-ти от длины и записали уравнение колеблющейся струны. Их вывод о том, что все есть число сейчас следует признать неправильным, но если понять это как то, что все можно в мире отразить методами и средствами мат-ки, то это совершенно правильно. Гегель сказал, что если противоречие не решается в данной системе, то нужно выйти за рамки данной системы и задача решится. Именно так и решается множ-во матем. задач.

В мат-ке конечно, как и в другом виде познания работают одновременно 3 вида мышления и 3 вида языка, но, тем не менее, в мат-ке явно превалирует ситуативное мышление.

Возникает вопрос: если исследования пифагорейцев были скрыты и за разглашение информации выгоняли из школы, то откуда мы знаем об их изотерической философии? Известно, что они писали на заказ законы, тексты которых хорошо сохранились. Правление по этим законам было практически аристократическим, что значило то, что люди не замечали, что они живут по этим законам. Такие законы могли написать те, кто хорошо знал мотивы поведения людей. Позже их изгнали, и они начали продавать свои идеи. Пифагорейцы, решая свои математ. задачи дошли до такого уровня развития ситуац. мышления, что они увидели, что могут прекрасно понимать людей и даже назвать мотивы их поведения. А еще с древности было известно, что мотивы это то, что люди тщательнее всего скрывают. После осознания этого они засекретили свои идеи, так как поняли, что такое знание не должно попасть не в те руки.

Мат-ка строится таким образом – придумываются так назыв. матем. объекты, совершенно произвольно между ними выстраивается некая матем. связь. Если использовать правила связи между матем. объектами так, что не встречаются матем. объекты, то можно считать, что построена матем. теория.

Из сказанного можно догадаться откуда берется непостижимая гибкость мат-ки. человек как известно это житель 2 миров: мира внешнего космоса и мира космоса собственной души. И если человеку удается жизнь сразу в 2 мирах, то жизнь в них безусловно представляется драматичной, но тем не менее для здорового человека эти 2 мира имеют хорошее согласие. Внешний мир хар-ется необыч. богатством всеобщей универс. связи (ВУС). В совр. науке это получило отражение в концепции голографич. вселенной Дэвида Бома, а дух мир чел-ка также гармоничен, что получило отражение в концепции голографич. мозга Прибрана. Богатство дух. мира чел-ка позволяет отразить бог-во внешнего мира. Каждый чел-к делает это по-своему в обыденной практике, в труд. деят-ти. Матем-ки делают это, пытаясь отразить гармонию внешнего мира придуманными ими матем. объектами и их соотношениями. И тем не менее следует признать, что внеш. космос-мир многократно богаче дух. мира чел-ка и чтобы не придумали мат-ки (главное, чтобы не было логич. противоречий) – это обяз-но имеет аналог во ВУС.

Мат-ка, также как и наука, прошла след. путь:

-преднаучный облик (предклассика)

-классика мат-ки

-неклассика мат-ки

-постнеклассич. мат-ка.

Полемика по основаниям математики. Концепция «логицистов» (Б.Рассел и А.Уайтхед). Современные следствия этой концепции.

Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотношении концептуальных математических построений и объективной реальности, которую они должны в конечной инстанции отображать. Это и задает определенный философский смысл проблеме. Проблема обоснования вызревала исторически, имеет глубокие корни. Вехами на пути становления проблемы были кризисы в основаниях математики, которые и возвели постановку этой темы в ранг актуальных. Выделяют три кризиса.

Первыйиз них поразил уже античную математику (V в. до н.э.). Речь о несоизмеримости отрезков. Второй кризис оснований математики развернулся на рубеже 17-18 вв. по причине вычисления бесконечно малых.

Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований, как в конце 19 в. назрел третий- самый глубокий и продолжительный, который волнует математику, логику и философию еще и поныне. Он затрагивает уже фундамент математики, по-настоящему выводя проблему на уровень философского осмысления темы, поскольку речь идет о статусе математической науки, правомерности построения ее объектов, возможности их существования и критериях истинности утверждений о них. В предыдущих кризисах подобные вопросы, конечно, тоже возникали, но лишь в частных, не глобальных проявлениях. По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления - логицизм, формализм и интуиционизм с его конструктивной ветвью. Расцвет деятельности всех 3 течений падает на период конца 19 - начала 20 вв. с выходом конструктивизма в более позднее время.

ЛОГИЦИСТЫ(Бертран Рассел, Арнольд Уайтхед). Основная идея: мат-ка – это та же логика. Мат-ки в лице Черча, Геделя и сов. академика Бочвара показали, что мат-ка и логика действительно пересекаются, но они не тождественны друг другу. Вот эта часть полемики не решила проблему основания мат-ки, но в названной полемике достаточно четко прослеживается связи и различия логики и мат-ки. При этом Уайтхед и Рассел переоткрыли математ. логику, но не забыли подчеркнуть, что ее первооткрывателем был Лейбниц. Рассел при этом предложил логич. цепи, которые очень похожи на цепи Маркова и они очень хорошо перекликаются с идеями интуиционистов. После работ Рассела и Уайтхеда логика приобрела принципиально матем. облик, а мат-ка стала использовать логич. основы собственного построения теории.

Лидеры логицизма видели основания математики в логике. Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в. в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в. Б. Расселом. В основе логицизма лежит убеждение, что математика - своего рода надстройка к фундаменту, заложенному логикой и что математические объекты покоятся на логических основаниях. Иначе говоря, логицизм вообще полагает математику лишь частью, отраслью логики.

Американский логик Ч. Пирс, например, характеризовал математику как науку о производстве необходимых умозаключений, а философ Э. Гуссерль подробно исследовал определение математики как логики. Однако, сказанное фиксирует, как отмечает А. Черч, лишь слабый смысл приоритета логики над математикой. Как говорил в связи с этим Б. Рассел, "логика - юность математики, а математика - зрелость логики".

Молодой английский математик и логик Б. Рассел в письме к Фреге обращает внимание на некорректность использования им понятия теории множеств, лежащей в фундаменте арифметики, а следовательно, всей математики. Ситуация получила "Парадокс Рассела". Вообще парадокс проявился в 3 аспектах - как собственно математический, логический и лингвистический. Пытаясь понять их причину, чтобы в дальнейшем избегать их, Б. Рассел и англ. математик А. Уайтхед пишут совместную книгу "Principia mathematica".

Опыт исканий логицистов показал, что хотя попытка оправдания математики логикой в некоторых моментах имеет право на применение, но по своим основаниям является недостаточной и вынуждена выходить за пределы собственно логики, апеллируя к философии и беря ее в союзники. Фактически, сводя математику к логике, логицисты лишь отодвинули проблему. Теперь она состояла в обосновании возможности существования уже не математических, а логических объектов.

В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной, и сами логические построения оставались в ряде пунктов открытыми, требуя более точного объяснения.

Программа логицизма упирается в фундаментальный вопрос, возможно ли сведение математики к логике в принципе? Безусловно, у них много общего, но все же они - разные дисциплины. Та и другая крайне абстрактны. Однако если математика отвлечена от конкретно-вещественной природы объекта, то логика - от конкретного содержания мысли. Та и другая есть чистые формы, но первая - формы пространственных и количественных отношений, а вторая - формы мысли. Это значит, что математика, ее термины обладают специфическим содержанием, не сводимым полностью к логическому. Дисциплинарная специфика, препятствующая сведению математики к логике проявляется еще в ряде случаев.

Ограниченность программы логицизма проявилась и в том, что при редукции математики к логике необходим логический аппарат вывода, но правила вывода сама логика не обосновывает. Логическое оправдание существованию математических понятий не удалось, и это вынуждены были признать сами лидеры логицизма. Так, Фреге был настолько удручен обнаружением парадоксов, что был склонен даже свою книгу "Основания арифметики" (Grundsдtze der Arithmetic) считать ошибочной. Во всяком случае из задуманных им трех томов этого большого труда вышел лишь первый, а работу над вторым томом прекратил, получив письмо Рассела о парадоксе. А. Пуанкаре (сторонник интуиционизма), столь восхищавшийся на II математическом Конгрессе в 1900 г. теорией множеств (основы логицизма), через 8 лет на Конгрессе в Риме назвал теорию множеств тяжелой болезнью, своего рода математической патологией, от которой удалось избавиться.

Итак, попытка найти логическое основание существованию математических объектов и правомерности истинностных высказываний о них не увенчалась успехом. Вместе с тем, усилия логицизма не прошли бесследно. Была проделана большая работ, положительно отразившаяся на математических исследованиях, о чем пойдет речь позднее.