Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x [a,b] – интеграл с перем. верхним пределом. Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b] Док-во: х [a,b] возьмем (х+ х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+ х)-Ф(х)= f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt=f( ) х, где [х, х+ х]. Ф(х)=f( ) х. х 0 => Ф(х) 0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х. т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.
Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dtявл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. ( f(t)dt)¢=f(x) Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела. Док-во: Ф(х)=f( ) х, где [х, х+ х] ( f(t)dt)¢=Ф¢ (x)=lim х 0 Ф(х)/ х= lim х 0 f( ) х/ х= lim х 0 f( ) (тогда х) =f(x) ч.т.д f(х)dх= f(t)dt+С Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x) Ф(х)=F(х)+С0 f(t)dt=0 0=Ф(a)=F(а)+С0 => С0 = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а) Ф(b)=F(b)-F(а)
f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л. Если функция f ( x ) интегрируема на [ a ; b ], то для любого существует интеграл Если функция f интегрируема на [ a ; b ], то функция F ( x ) непрерывна на этом отрезке. Если функция f интегрируема на [ a ; b ] и непрерывна в то функция F ( x ) дифференцируема в причем Если функция f непрерывна на [ a ; b ], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница : Пусть функция f ( x ) непрерывна на [ a ; b ], а F ( x ) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F ( b ) – F ( a ). Пусть f ( x ) непрерывна на [ a ; b ], g ( t ) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле : Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют на [ a ; b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: Интегрирование по частям и замена переменной в о.и. По частям. Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла где и - непрерывно дифференцируемые на функции. Доказательство. Произведение имеет на непрерывную производную Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница Этим теорема доказана. Например,найти интеграл . Обозначим и . Тогда . Поэтому Или, окончательно Замена. Теорема: Имеет место равенство где функция непрерывно дифференцируема на , , и непрерывна на - образе отрезка при помощи функции . Доказательство. Пусть и - первообразные функции соответственно и . Тогда справедливо тождество где - некоторая постоянная. Поэтому На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему. Пример 1. Найти интеграл . Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал : . В результате наш интеграл примет вид: Преобразуем подынтегральное выражение: Взяв этот интеграл, получим: .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (562)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |