Замена переменной в неопр. интеграле.

Определение первообразной, неопределенный интеграл, свойства первообразной

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Теорема: Пусть - F1(x) и F2(x) - две первообразные для функции f(x) , тогдаF1(x)=F2(x)+C.

Док-во: рассмотримF1(x) - F2(x) и найдем ее производную F1’(x) -F2’(x) получилосьf(x)-f(x)=0 (любой xпринадлежащий промежутку)По следствию т Логранжа (если произв. функции на множестве равно 0, то эта ф. - const ) ->F1(x) - F2(x)=const=C, чтд т.е. F1(x) = F2(x)+С

Определениен. интеграла.Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Доказательство. Непосредственно по определению неопределенного интеграла следует, что

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

.

Доказательство.Из свойства 1 и по определению неопределенного интеграла и дифференциала, имеем

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного множителя.

.

Доказательство. На основании свойства 2 и определения неопределенного интеграла, имеем

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

.

Доказательство. Введем новую функцию

.

Возьмем производную этой функции и применяя свойство 1, получим

- .

Из теоремы Лагранжа найдется такое число С,что . Отсюда следует

Замена переменной в неопр. интеграле.

Теорема.: Пусть функция x= φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале измененийx, то имеет место равенство:

∫ ƒ(x)dx=∫ƒ(φ(t))·φ'(t)dt

Доказательство.

Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл∫ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой.

По определению1 неопределенного интеграла

∫ ƒ(x)dx=F(x) +C, причемF'(x) = ƒ(x)

Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции: ƒ(φ(t))·φ'(t).

Для этого найдем (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| =

= F'(φ(t))·φ'(t);

Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда

(F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t)

∫ƒ(φ(t))·φ'(t) dt = F(φ(t)) + C = F(x) + C = ∫ƒ(x) dx.

∫ƒ(x) dx = ∫ƒ(φ(t)) ·φ'(t) dt.

Пример 1.

Положим x – 1 = t ; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Пример 2.

.

Решение. Положим .Отсюда
.
По формуле (1)

.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем