Если же среди членов ряда имеются отрицательные числа, то данные признаки перестают быть верными, т.е. их нельзя использовать.
Предельный признак сравнения. (1) сравним с эталонным (2)
Если , где и , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково (вместе сходятся или расходятся). Эталонные ряды: · - гармонический ряд (расходится) · -обобщенный гармонический ряд · -геометрическая прогрессия Пример: Исследовать на сходимость ряд Решение. Вопользуемся признаком сравнения, сравнив данный числовой ряд с положительными членами с гармоническим рядом . Так как и гармонический ряд является расходящимся, то и наш числовой ряд по признаку сравнения расходится. Ответ: ряд расходится.
Пример Исследовать на сходимость ряд Решение. Исследуем данный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится. Вычислим предел:
Следовательно, оба ряда вместе расходятся согласно предельному признаку сравнения. Ответ: Ряд расходится. Признак Доламбера и радикальный признак Коши. Признак Даламбера Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:
Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдуший член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения... Впрочем, перейдём к научной форме изложения признака Даламбера. Теорема(признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n + 1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, т.е. (19) Тогда: а) если , то ряд сходится; б) если , то ряд расходится; в) если , то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. Доказательство.Таккак , то по определению предела для любого e>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство . Пусть . Можно подобрать e так, что число l+e<1. Обозначим l+e=q, q<1. Тогда из правой части неравенства получаем . В силу свойства числовых рядов можно считать, что для всех n=1,2,3… Давая номеру n эти значения, получаем серию неравенств: , , ,…, ,… т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд. Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому . На основании следствия из необходимого признака ряд расходится. Ч.т.д. Радикальный п. Коши. Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми: Если начиная с какого-то номера выполняется неравенство , то ряд сходится. Доказательство 1 вариант.Пусть . Так как , то ряд будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд так же является сходящимся. Если , что противоречит необходимому условию сходимости ряда ( ). Значит ряд расходится. 2 вариант. По определению предела последовательности: , ; . Следовательно, , или для .Таким образом, имеем Т.к. члены ряда (1) меньше, чем члены ряда (2), в который входит прогрессия, следовательно ряд (2) сходящийся.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (384)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |