Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
Рассмотрим основные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции. При нахождении интегралов вида , , подынтегральные функции из произ- ведений преобразовываются в суммы с помощью формул: , , . В результате полученные интегралы находятся с использованием методов интегрирования и таблицы интегралов. При этом можно использовать формулы и . Интегралы вида можно находить довольно просто в следующих случаях. 1.Если m – положительное нечётное число, то можно отделить первую степень синуса и применить подстановку . Тогда и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических формул сведётся к степенным функциям. 2.Если n - положительное нечётное число, то можно отделить первую степень косинуса и выполнить замену . Тогда и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических функций тоже сведётся к степенным функциям. 3.Если m и n – неотрицательные чётные числа, то преобразование подынтегральных выражений можно выполнять с помощью формул понижения степени и . 4.Подынтегральная функция представляет собой дробь, в числителе которой находится степень синуса, а в знаменателе – степень косинуса, или наоборот. При этом показатели степени или оба чётные, или оба нечётные, т.е. одинаковой чётности. В этом случае, если в числителе синус, то наиболее подходящей является подстановка .Отсюда , , , . Если же в числителе косинус, то удобно использовать подстановку .Тогда , , , .
5. Нахождение интегралов вида сводится с помощью подстановки к нахождению интегралов от рациональных функций. Подстановка называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой, которая всегда приводит к результату. В этом случае , , , , .
Интегрирование иррациональных выражений. Интеграл от Дифференциального бинома. а) Рассмотрим интегралы вида (2) где R – рациональная функция от переменных, - натуральные числа, Пусть S – наименьший общий знаменатель дробей Тогда с помощью замены интеграл (2) сводится к интегралу от рациональной функции переменного . Рассмотрим, например, интеграл . Выбирая наименьший общий знаменатель дробей (то есть 6), сделаем замену . Тогда и Остается вычислить последний интеграл, как это указано в интегрировании рациональных дробей. б) При вычислении интегралов вида 1) 2) 3) где - рациональная функция, удобно пользоваться следующими тригонометрическими подстановками соответственно: или 2) или 3) или В этом случае исходные интегралы сводятся к интегралам, описанным в универсальной триг подстановке и в интегрлах видагдеи- целые числа.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (458)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |