Несобственный интеграл.
Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: 1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. 2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся. Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: 1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. 2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся. Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой: , где с — произвольное число.
Признаки сходимости. Признаки сравнения.
Приложение определенного интеграла в физике и механике. Площадь плоской фигуры. а) Площадь фигуры Как уже отмечалось в лекции 19, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x) , прямыми х = а, х = b и отрезком [a, b] оси ОХ. При этом если f(x) £ 0 на [a, b], то интеграл следует взять со знаком минус. Если же на заданном отрезке функция у = f(x) меняет знак, то для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью ОХ, следует разбить отрезок на части, на каждой из которых функция сохраняет знак, и найти площадь каждой части фигуры. Искомая площадь в этом случае есть алгебраическая сумма интегралов по этим отрезкам, причем интегралы, соответствующие отрицательным значения функции, взяты в этой сумме со знаком «минус». Если фигура ограничена двумя кривыми у = f1(x) и у = f2(x), f1(x)£f2(x), то, как следует из рис.9, ее площадь равна разности площадей криволинейных трапеций аВСb и аАDb, каждая из которых численно равна интегралу. Значит, .
1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками и (рис. 12). Возьмем на дуге точки с абсциссами и проведем хорды , длины которых обозначим соответственно . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу . Длина ломанной равна . Определение. Длиной дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю: . Длина всей дуги , заключенной между точками и , вычисляется по формуле . В полярных . Связь декартовых координат с полярными задается формулами Известно, что длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле . Вычислим производные координатных функций Подставим их в подкоренное выражение и упростим его Подставляя это выражение в формулу длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, получаем формулу длины дуги, заданной в полярных координатах . Параметрически: , , = Длина кривой заданной параметрически, выражается через определенный интеграл L= .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (376)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |