Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными
Введение Учебно-методическое пособие написано для студентов заочной формы обучения в помощь в выполнении контрольных работ №1,2 дисциплины «Дополнительные главы математики». Учебно-методическое пособие особенно полезно студентам, обучающимся по направлению подготовки 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», профиль «Автомобили и автомобильное хозяйство». В пособии в краткой форме приводится теоретический материал, необходимый для выполнения контрольных работ, задачи с решениями. Так же в пособии представлены задания контрольных работ №1,2 и примеры их решения. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений. Основные определения и понятия Дифференциальным уравнением (обыкновенным дифференциальным уравнением) называется соотношение между независимой переменной х, функцией от неё у, и производными различного порядка от этой функции, записанное в форме равенства: В частных случаях в указанное соотношение может не входить независимая переменная или функция от неё, или и то и другое, но обязательно должна входить производная (производные), иначе данное соотношение нельзя назвать дифференциальным уравнением. Наибольший порядок производной, входящей в уравнение, определяет и порядок уравнения. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, полученное в виде: , где – произвольные константы, число которых соответствует порядку уравнения, называется общим. Решение, полученное при наличии ряда условий, когда произвольные константы принимают вполне определенные значения, называется частным. Решение уравнения, представленное в виде: , называется общим интегралом; при конкретных значениях произвольных констант оно называется частным интегралом. Решение, которое нельзя получить из общего ни при каких значениях произвольных постоянных, называется особым. Заметим, что в дальнейшем нахождение особых решений уравнений не рассматривается. График функции, являющейся решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое можно представить в виде: (1) или . (1¢) Рассмотрим примеры решения таких уравнений. Пример 1. Найти общий интеграл уравнения . Решение. Представим уравнение в виде: . Чтобы разделить переменные, поделим обе части равенства на выражение , получим: . Интегрируем обе части данного уравнения: . Получим ответ: . Проверим найденное решение. Следует сказать, что проверка может оказаться сложнее, чем нахождение решения, особенно, если оно получено в неявной форме. Чтобы её выполнить, нужно иметь хорошие навыки дифференцирования. Достаточно легко проверка выполняется в линейных уравнениях, т.к. их решение получается в явном виде. Для проверки выразим из общего интеграла : . Продифференцируем обе части последнего равенства по : . Разделим обе части данного уравнения на 2 и умножим на : , напомним, что . Подставим полученное выражение в правую часть исходного уравнения, записанного в виде: . . Проверка выполнена, решение верное. В дальнейшем проверка решений обычно не приводится, но предполагается, что она выполнена. Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Решение. Полагая , перепишем данное уравнение в виде . Разделяем переменные: . Интегрируем обе части уравнения: , или , получим – общий интеграл. Теперь найдем С. Положим , тогда Þ . Подставляя значение в выражение общего интеграла, найдем частный интеграл уравнения: . Во многих практических задачах решение нужно получить в явном виде и для его проверки и для анализа поведения той функции, для нахождения которой и было составлено дифференциальное уравнение. Покажем на примере данного уравнения, как это можно сделать. Умножим обе части написанного равенства на 2, получим: или , тогда . Чтобы избавиться от логарифма, применим обратную функцию – показательную, такая операция называется потенцированием:
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (615)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |