Нахождение приближённого решения дифференциальных уравне- ний
Обычный путь решения дифференциальных уравнений – это решение их в квадратурах, т.е. с помощью интегрирования. Термин «квадратура» происходит от геометрического смысла определённого интеграла , который равен площади (квадратуре) криволинейной трапеции, фигуры, образованной линиями , при условии, что график последней расположен выше оси абсцисс. Однако существуют дифференциальные уравнения, к которым такой способ решения не применим. В этом случае можно найти их решение приближённо, например, в виде суммы степенных функций: (1) В написанной формуле - это значение аргумента, при котором известно значение функции. Коэффициенты при степенных функциях можно найти различными способами, наверное, самый удобный – нахождение их таким же образом, как в формуле Тейлора: , где - производная порядка , вычисленная при , при данном способе обозначения производная нулевого порядка – это сама функция. Тогда формула (1) примет вид: Как видим, для нахождения точного решения нужно найти бесконечное количество слагаемых. Поскольку это невозможно, ограничиваются несколькими слагаемыми, тогда решение будет найдено приближённо: . Тригонометрические ряд. Ряд Фурье. Функциональный ряд называется тригонометрическим, если членами ряда являются синусы и косинусы кратных значений аргумента x, то есть ряд вида (1) 1.Пусть функция - периодическая с периодом Рядом Фурье для функции называется тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого (коэффициенты Фурье) находятся по формулам: Если разлагаемая в ряд Фурье функция - нечетная, то Если функция - четная, то Условия разложимости функции в ряд Фурье определяются следующей теоремой. Теорема (Дирихле). Если функция - периодическая с периодом на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для этой функции сходится для всех значениях х и сумма полученного ряда равна значению функции в точках её непрерывности. В точках разрыва функции сумма ряда равно среднему арифметическому односторонних пределов в этих точках, т.е. где - точка разрыва. 2. Если функция - периодическая с периодом , то коэффициенты ряда Фурье
вычисляются по формулам: Если функция - нечетная, то
Если функция - четная, то Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом . Решение. Данная Функция удовлетворяет условиям сходимости теоремы Дирихле. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье Функция нечетная, поэтому Найдем коэффициент :
Таким образом,
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (366)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |