Задачи различного характера на составление дифференциаль ных уравнений
При решении таких задач для составления уравнения используют соотношение между малым изменением (дифференциалом) одной величины (функции) и соответствующим малым изменением (дифференциалом) другой величины, которая рассматривается как независимая переменная. В качестве такой независимой переменной часто выступает время. Отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной (производная) имеет смысл скорости изменения функции, это понятие также часто используется при составлении дифференциальных уравнений. Кроме того, решение задач из физики, химии, биологии и тому подобное, естественно требует некоторых знаний из соответствующих тем. Пример 1. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна A0. а) Найти зависимость стоимости оборудования от времени; б) найти стоимость оборудования в момент времени , если известна его стоимость в момент времени . Решение. а) Обозначим - стоимость оборудования в момент времени t. Пусть за промежуток времени dt стоимость уменьшилась на величину dA. Тогда скорость обесценивания равна . Т.к. она пропорциональна фактической стоимости, то можно написать ; , где - коэффициент пропорциональности, знак минус отражает тот факт, что стоимость уменьшается. Решим составленное уравнение: Þ Þ Þ . При . Тогда . б) Используя условие , найдем коэффициент пропорциональности. Þ Þ Þ . Тогда . Пример 2. Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью, пропорциональной количеству не преобразованного вещества. По истечении времени t1первого вещества было m1, по истечение времени t2 – m2. Найти массу вещества в начале процесса; через какое время после начала реакции останется 1% исходного вещества? Решение. Пусть m0 - исходное количество вещества при t = 0, m(t) - количество не преобразованного вещества в момент времени t. Если за промежуток времени dt преобразуется dm первого вещества, то скорость преобразования . По условию задачи , где - коэффициент пропорциональности; ; , Решаем уравнение: ; Þ . При t = 0 , . ; , ; ;. , , разделим ; Þ ; . Для нахождения m0 возьмем t = t1. Þ . Для ответа на второй вопрос запишем: ; ; . Пример 3. Задача истечения жидкости из сосуда через малое отверстие. В общем виде задача формулируется следующим образом. Имеется сосуд, площадь поперечного сечения которого есть известная функция высоты уровня жидкости над отверстием, поперечное сечение – сечение, проведённое перпендикулярно оси симметрии сосуда. Сосуд (резервуар, бак) наполнен жидкостью до уровня . В момент времени жидкость начинает вытекать из сосуда через малое отверстие площади в самой нижней части сосуда. Определить время , за которое уровень жидкости понизится до значения . Решение. Решение задачи основано на том, что изменение объема жидкости за небольшое время , связанное с понижением её уровня в сосуде, равно объёму жидкости, вытекающему за это время из отверстия. Изменение объёма, связанное с понижением уровня равно , - изменение уровня за время , знак минус отражает тот факт, что объём уменьшается. Количество жидкости, вытекающей из сосуда, равно , где - скорость жидкости, вытекающей из сосуда. Согласно формуле Торричелли: . В этой формуле - ускорение свободного падения, приближённо равное 9,81 , - коэффициент расхода, который определяется эмпирически, т.е. опытным путём, и зависит от жидкости. Для воды этот коэффициент примерно равен 0,62, для керосина – 0,6. Учитывая всё сказанное, получим уравнение: . При изменении высоты уровня от до время изменится от 0 до . Поэтому: . Вычисление интеграла в правой части зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, размеров и формы отверстия, через которое она вытекает. Для примера рассмотрим следующую задачу. Цилиндрический резервуар длиной l и радиусом R расположен горизонтально. За какое время вода полностью вытечет из резервуара, если отверстие радиуса r находится на уровне самой нижней из образующих цилиндра. В данной задаче площадь поперечного сечения S(h) представляет собой прямоугольник, одна сторона которого фиксирована и равна l, другая зависит от h, назовем её d. Из рисунка видно, что ; , . Тогда время истечения воды из резервуара равно: . В частности, при = 1 м, = 2 м, = 2,5 см, получим: 1.6. Дифференциальные уравнения вида Общее решение получается путем n-кратного интегрирования. По определению, производная порядка п это производная от производной предыдущего порядка : . Используя это определение, исходное уравнение можно записать в виде: Þ Þ Þ . Используя , получим Þ Þ Þ . Понижение порядка уравнения продолжается до тех пор, пока не получим саму функцию y. Пример 1. Найти общее решение уравнения . Решение. Общее решение получается путем двукратного интегрирования данного уравнения. 1) , , . 2) , , . Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; . Решение. Запишем уравнение в виде . Þ Þ . Найдем : Þ . Следовательно: , Þ Þ . (При нахождении использован метод интегрирования по частям.) Найдем : Þ . Следовательно: . Þ Þ . (Снова использован метод интегрирования по частям.) Найдем : Þ . Ответ: .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2359)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |