Задание 1.Найти общие решение (общий интеграл) дифферен - цельного уравнения.

Пример 1. .

Решение:

Данное уравнение представим в виде: .

Разделим переменные путём деления обоих частей равенства на выражение

. Получим: . Интегрируем обе части данного уравнения: получим

общий интеграл.

Пример 2. .

Решение:

Выразим

Полагая , перепишем уравнение в виде:

Разделим переменные:

.

Интегрируем обе части уравнения:

или , получим

общий интеграл.

Задание 2.Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой. .

Решение.

Перепишем уравнение в виде . Тогда

.

Найдём : из условия Следовательно:

При решении использовали метод интегрирования по частям. Найдём :

Следовательно, частное решение. Вычислим значение функции при :

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

1. .

 

Решение:

Общее решение ищем в виде .

1. общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Его характеристическое уравнение

, откуда .

Тогда общее решение однородного уравнения определяется формулой

.

2. частное решение исходного уравнения

.

Подбираем его по виду правой части:

,

где т.е. многочлены нулевой степени, в = 2.

Тогда частное решение следует искать в виде:

, где k – число совпадений выражения

с корнями характеристического уравнения ;

и - неопределенные коэффициенты, которые следует найти .

В нашем случае k = 0, так как .

Поэтому

.

Для нахождения коэффициентов и найдём и :

,

.

Подставляя найденные выражения для , , в исходное уравнение, получим:

Раскроем скобки слева и сгруппируем относительно и :

или

.

Из последнего равенства следует система двух линейных уравнений относительно А и В :

Таким образом, .

Так как , то общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

Для нахождения частного решения исходного уравнения найдем :

.

Используя начальные условия , и получим систему двух уравнений для определения и :

или

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Решение:

Общее решение ищем в виде: .

1. Составим и решим характеристическое уравнение , действительные различные корни, т.е. .

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения определяются формулой

.

2. Так как правая часть данного уравнения имеет общий вид

, где многочлен нулевой степени, где п = 0 и а = - 2, то частное решение следует искать в виде , где k – число совпадений числа а с корнями характеристического уравнения многочлен общего вида с неопределенными коэффициентами степени п.

Так как , а при то .

Для нахождения коэффициента А найдём , ;

Подставляя найденные выражения для , , в исходное уравнение, получим:

или

.

Таким образом

Так как - то согласно и общее решение исходного

уравнения имеет вид .

Для нахождения частного решения исходного уравнения следует сначала найти согласно : .

С учетом начальных условий подставим в и

Получим систему линейных уравнений относительно неизвестных и

или откуда .

Следовательно, искомое частное решение вид .

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных

Решение. Данная система представляет собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений. Обе части первого уравнения дифференцируем по переменной t :

В полученном уравнении заменяем правой частью второго уравнения системы:

В полученном уравнении заменяем выражением, которое находится из первого уравнения системы: .

В итоге приходим к линейному однородному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Для его решения составим характеристическое уравнение , корни которого

Общее решение имеет вид:

.

Для нахождения продифференцируем по выражение .

Тогда .

Из первого уравнения системы находим

.

Подставляя и в последнее выражение, получим:

.

Следовательно, общее решение системы имеет вид:

1.10. Контрольная работа №1

дисциплина «Дополнительные главы математики»

направления 23.03.03.

Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.

Вариант 1.

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 2

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 3

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков

после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 4

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 5

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 6

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 7

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 8

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 9

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

Вариант 10

Задание 1.

Найти общие решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

.

Задание 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при c точностью до двух знаков после запятой.

.

Задание 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Задание 4.

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения

(т.е. сведением к дифференциальному уравнению 2-го порядка).

2. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. Ряд Фурье