Тема: « Парная регрессия и корреляция».

2018-07-06

1601

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Задание. Периодически в средствах массовой информации обсуждаются высокие должностные оклады президентов благотворительных организаций. Дана информация о десяти крупнейших филиалах общества United Way в таблице 2.2.1.

Таблица 2.2.1

№ п/п	Город	Должностной оклад президента, тыс. дол. (Y)	Собранная сумма пожертвований в расчете на душу населения, дол. (X)
	Детройд
	Атланта
	Лос-Анжелес
	Канзас-Сити
	Чикаго
	Миннеаполис
	Хьюстон
	Сиэтл
	Денвенр
	Кливленд

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.

3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3, 5 и 6, выберать лучшее уравнение регрессии и дайть его обоснование.

8. Рассчитайть прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 6 % от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

9. Оценить надежность и точность полученного прогноза.

Решение.

1. Для условия задачи поле корреляции выглядит следующим образом (Рисунок 2.2.1):

Рисунок 2.2.1

По расположению точек можно предположить, что между должностным окладом президента (Y) и собранной суммой пожертвований (X) существует прямая линейная зависимость.

2. Определим параметры уравнения парной линейной регрессии . Вычисления организуем в таблицу 2.2.2:

Таблица 2.2.2

№ п/п	x	y	xy	x²	y²	ŷ_x	y – ŷ_x	(y – ŷ_x)²	Ai

						135,75	-1,75	3,063	0,013
						144,25	9,75	95,063	0,063
							-15	225,000	0,106
						165,5	-4,5	20,250	0,028
						169,75	19,25	370,563	0,102
							-15	225,000	0,094
						182,5	12,5	156,250	0,064
						199,5	3,5	12,250	0,017
						203,75	-26,75	715,563	0,151
								324,000	0,080
Сред нее			4131,2	559,4	31039,8			214,7	0,071827
σ	5,51362	27,63693
σ²	30,4	763,8

Напомним, что средние значения рассчитываются по формулам , , , и т.д., где (число наблюдений в рассматриваемой задаче). Дисперсия определяется по формулам , , а среднеквадратическое отклонение ( , ) есть корень квадратный из дисперсии.

По формулам находим: и .

Т.о. уравнение регрессии запишется в виде: ŷ_x = 76,25 + 4,25x.

Интерпретация коэффициента регрессии. С увеличением суммы пожертвований на душу населения на один доллар должностной оклад президента благотворительной организации увеличивается на 4,25 тыс. дол.

1) Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:

С учетом вычислений в столбцах 2,3 и 4 таблицы получим

Т.е. связь между изучаемыми переменными прямая (так как > 0), тесная (так как > 0,7). Определим коэффициент детерминации R² = 0,848² = 0,719.Т.е. 71,9% вариации должностного оклада объясняется вариацией пожертвований.

2) Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

, ,

Это означает, что при изменении фактора (собранной суммы пожертвований на душу населения) на 1% от своего среднего значения, результат (должностной оклад президента) изменится в среднем по совокупности на 0,56% от своего среднего значения.

3) Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

< 8%

Это означает, что качество рассматриваемой модели хорошее.

4) Определим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для этого находим

По таблице значений F-критерия Фишера для уровня значимости α = 0,05 находим: . Так как > , то гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отвергается и принимается гипотеза о статистической значимости и надежности уравнения регрессии в целом.

Обработка данных в табличном редакторе Excel приводит к следующему результату (Рисунок 2.2.2):

Рисунок 2.2.2

3. Определим параметры уравнения полулогарифмической регрессии . Предварительно проведем процедуру линеаризации переменных. Для этого сделаем замену и определим параметры уравнения . Вычисления организуем в таблицу 2.2.3:

Таблица 2.2.3

№п/п	x	y	X=lnx	Xy	X²	y²	ŷx	y - ŷx	(y - ŷx)²	Ai
			2,639	353,634	6,965		131,121	2,879	8,286	0,021
			2,773	426,979	7,687		143,414	10,586	112,070	0,069
			2,944	418,110	8,670		159,233	-17,233	296,989	0,121
			3,045	490,168	9,269		168,447	-7,447	55,451	0,046
			3,091	584,207	9,555		172,729	16,271	264,747	0,086
			3,135	498,544	9,831		176,821	-17,821	317,586	0,112
			3,219	627,681	10,361		184,497	10,503	110,321	0,054
			3,367	683,561	11,339		198,159	4,841	23,431	0,024
			3,401	602,012	11,568		201,280	-24,280	589,531	0,137
			3,434	776,081	11,792		204,299	21,701	470,946	0,096
Среднее			3,105	546,098	9,704	31039,8			224,9357	0,076692
σ²		763,8	0,064

По формулам находим: и . Т.о. уравнение регрессии запишется в виде: . После замены получим

1) Рассчитаем индекс корреляции по формуле:

Определим коэффициент детерминации R² = 0,8399² ≈ 0,706.

Т.е. 70,6% вариации должностного оклада объясняется вариацией пожертвований.

2) Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

, , ,

Это означает, что при изменении фактора (собранной суммы пожертвований на душу населения) на 1% от своего среднего значения, результат (должностной оклад президента) изменится в среднем по совокупности на 0,53% от своего среднего значения.

3) Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

< 8%

Это означает, что качество рассматриваемой модели хорошее.

4) Определим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для этого находим

Рисунок 2.2.3

4. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Проведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения: ; , где , , .

Для расчетов используем данные таблицы 2.2.4:

Таблица 2.2.4

№ п/п	x	y	X=lnx	Y=lny	XY	X²	ŷx	y - ŷx	(y - ŷx)²	Ai
			2,639	4,898	12,926	6,965	133,936	0,064	0,004	0,000
			2,773	5,037	13,965	7,687	143,854	10,146	102,942	0,066
			2,944	4,956	14,592	8,670	157,707	-15,707	246,703	0,111
			3,045	5,081	15,470	9,269	166,381	-5,381	28,957	0,033
			3,091	5,242	16,202	9,555	170,574	18,426	339,515	0,097
			3,135	5,069	15,894	9,831	174,679	-15,679	245,836	0,099
			3,219	5,273	16,973	10,361	182,648	12,352	152,577	0,063
			3,367	5,313	17,891	11,339	197,742	5,258	27,646	0,026
			3,401	5,176	17,605	11,568	201,361	-24,361	593,472	0,138
			3,434	5,421	18,614	11,792	204,925	21,075	444,164	0,093
Среднее			3,105	5,147	16,013	9,704			218,1817	0,072663
σ²		763,8	0,064

По формулам находим: и . Т.о. уравнение регрессии запишется в виде: . После замены получим: С=lna, a = e^С= 32,638;

1) Рассчитаем индекс корреляции по формуле:

Определим коэффициент детерминации R² = 0,8452² ≈ 0,714.

Т.е. 71,4% вариации должностного оклада объясняется вариацией пожертвований.

2) Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

, ,

Это означает, что при изменении фактора (собранной суммы пожертвований на душу населения) на 1% от своего среднего значения, результат (должностной оклад президента) изменится в среднем по совокупности на 0,54% от своего среднего значения.

3) Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

< 8%

Это означает, что качество рассматриваемой модели хорошее.

4) Определим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для этого находим

По таблице значений F-критерия Фишера для уровня значимости α = 0,05 находим:

Так как > , то гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отвергается и принимается гипотеза о статистической значимости и надежности уравнения регрессии в целом.

В Excel получим следующий результат (Рисунок 2.2.4):

Рисунок 2.2.4

5. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Проведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения: ; , где .

Для расчетов используем данные таблицы 2.2.5:

Таблица 2.2.5

№ п/п	x	y	Y=lny	xY	x²	ŷx	y - ŷx	(y - ŷx)²	Ai
			4,898	68,570		137,804	-3,804	14,473	0,028
			5,037	80,591		144,732	9,268	85,894	0,060
			4,956	94,161		155,782	-13,782	189,946	0,097
			5,081	106,709		163,614	-2,614	6,831	0,016
			5,242	115,318		167,676	21,324	454,724	0,113
			5,069	116,585		171,839	-12,839	164,833	0,081
			5,273	131,825		180,477	14,523	210,905	0,074
			5,313	154,083		199,079	3,921	15,371	0,019
			5,176	155,284		204,022	-27,022	730,197	0,153
			5,421	168,037		209,088	16,912	286,030	0,075
Сумма			51,466	1191,163				2159,205	0,7167
Среднее			5,147	119,116	559,4			215,9205	0,0717
σ²	30,4	763,8

По формулам находим: и . Т.о. уравнение регрессии запишется в виде: . После замены получим: , или

1) Рассчитаем индекс корреляции по формуле:

Определим коэффициент детерминации R² = 0,8469² ≈ 0,717.

Т.е. 71,7% вариации должностного оклада объясняется вариацией пожертвований.

2) Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

, ,

3) Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

< 8%

Это означает, что качество рассматриваемой модели хорошее.

4) Определим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для этого находим

По таблице значений F-критерия Фишера для уровня значимости α = 0,05 находим:

В Excel получим следующий результат (Рисунок 2.2.5):

Рисунок 2.2.5

6. Определим параметры уравнения обратной регрессии . Предварительно проведем процедуру линеаризации переменных. Для этого сделаем замену и определим параметры уравнения . Вычисления организуем в таблицу 2.2.6:

Таблица 2.2.6

№ п/п	x	y	Y=1/y	xY	x²	ŷx	y - ŷx	(y - ŷx)²	Ai
			0,00746	0,104		139,143	-5,143	26,448	0,038
			0,00649	0,104		144,947	9,053	81,962	0,059
			0,00704	0,134		154,621	-12,621	159,291	0,089
			0,00621	0,130		161,821	-0,821	0,675	0,005
			0,00529	0,116		165,679	23,321	543,862	0,123
			0,00629	0,145		169,725	-10,725	115,031	0,067
			0,00513	0,128		178,441	16,559	274,208	0,085
			0,00493	0,143		198,864	4,136	17,103	0,020
			0,00565	0,169		204,722	-27,722	768,533	0,157
			0,00442	0,137		210,936	15,064	226,925	0,067
Сумма			0,05892	1,311				2214,037	0,7106
Среднее			0,00589	0,131	559,4			221,4037	0,0711
σ²	30,4	763,8

По формулам находим: и . Т.о. уравнение регрессии запишется в виде: . После замены получим: .

1) Рассчитаем индекс корреляции по формуле:

Определим коэффициент детерминации R² = 0,8427² ≈ 0,71.

Т.е. 71% вариации должностного оклада объясняется вариацией пожертвований.

2) Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

, ,

3) Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

< 8%

Это означает, что качество рассматриваемой модели хорошее.

4) Определим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для этого находим

По таблице значений F-критерия Фишера для уровня значимости α = 0,05 находим:

7. Определим параметры уравнения равносторонней гиперболы . Предварительно проведем процедуру линеаризации переменных. Для этого сделаем замену и определим параметры уравнения .

Вычисления организуем в таблицу 2.2.7:

Таблица 2.2.7

№ п/п	x	y	X=1/x	Xy	X²	y²	ŷx	y - ŷx	(y - ŷx)²	Ai
			0,07143	9,571	0,005		127,401	6,599	43,544	0,049
			0,06250	9,625	0,004		143,971	10,029	100,586	0,065
			0,05263	7,474	0,003		162,284	-20,284	411,459	0,143
			0,04762	7,667	0,002		171,587	-10,587	112,078	0,066
			0,04545	8,591	0,002		175,604	13,396	179,465	0,071
			0,04348	6,913	0,002		179,271	-20,271	410,918	0,127
			0,04000	7,800	0,002		185,726	9,274	86,007	0,048
			0,03448	7,000	0,001		195,965	7,035	49,493	0,035
			0,03333	5,900	0,001		198,098	-21,098	445,124	0,119
			0,03226	7,290	0,001		200,093	25,907	671,150	0,115
Сумма			0,46319	77,831	0,023				2509,824	0,837
Среднее			0,04632	7,783	0,002	31039,8			250,9824	0,083739
σ²		763,8	0,00015

По формулам находим: и . Т.о. уравнение регрессии запишется в виде: . После замены получим .

2) Рассчитаем индекс корреляции по формуле:

Определим коэффициент детерминации R² = 0,8194² ≈ 0,671.

Т.е. 67,1% вариации должностного оклада объясняется вариацией пожертвований.

2) Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

, ,

Это означает, что при изменении фактора (собранной суммы пожертвований на душу населения) на 1% от своего среднего значения, результат (должностной оклад президента) изменится в среднем по совокупности на 0,53% от своего среднего значения.

3) Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

> 8%

Это означает, что качество рассматриваемой модели удовлетворительное.

4) Определим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для этого находим

По таблице значений F-критерия Фишера для уровня значимости α = 0,05 находим:

8) Для анализа составим таблицу 2.2.8:

Таблица 2.2.8

Регрессия	Показатель корреляции	Ср. ошибка аппроксимации	F_набл
Линейная	0,848	7,2	20,47
Полулогарифмическая	0,84	7,7	19,21
Степенная	0,845	7,3
Экспоненциальная	0,847	7,2	20,26
Обратная	0,843	7,1	19,6
Равностор. гипербола	0,82	8,3	16,34

Из таблицы видим, что рассматриваемую в задаче зависимость лучше всего описывает уравнение линейной регрессии, поскольку для этой модели показатель корреляции оказался больше, при этом качество линейной модели хорошее и уравнение линейной регрессии статистически надёжно.

9. Рассчитаем прогнозное значение . Для этого найдем . Построим точечный прогноз: .

Построим 95% доверительный интервал для прогноза. Определим среднюю стандартную ошибку прогноза :

Далее строим доверительный интервал прогноза:

где .

По таблице находим для уровня значимости по условию α= 0,05 и числа степеней свободы 10-2 = 8: t_0,05;8= 2,306.

И, следовательно, 179,865 ± 2,306×17,42 = 179,865 ± 40,18 или

139,685 ≤ ≤ 220,047.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозное значение оклада президента отдельной благотворительной организации, которая соберет пожертвований в расчете на душу населения на 6% больше от среднего значения, будет находиться в интервале от 139,685 до 220,047тыс. долларов. Прогноз оказался надежным.

Оценим точность полученного прогноза

Прогноз оказался не очень точным.

Варианты индивидуальных заданий к лабораторной работе №1

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3, 5 и 6, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на d % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

9. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Варианты исходных данных

1. По территориям некоторых регионов (i – номер региона) известны данные за год по среднедневной заработной плате (y, руб.) и среднедушевому прожиточному минимуму в день одного трудоспособного (x, руб.):

i
x
y

Для пункта 7 d = 10 %.

2. Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города:

i
x
y

Для пункта 7 d = 7 %.

3. По однородным предприятиям (i – номер предприятия) имеются данные о количестве рабочих с профессиональной подготовкой (x, %) и количестве бракованной продукции (y, %):

i
x	39,4	40,1	48,6	54,7	58,4	70,5	85,1	65,3	57,3	50,6
y	17,1	18,3	11,2	9,3	10,8	5,9	3,8	6,7	8,4	9,5

Для пункта 7 d = 6 %.

4. Компания «Вест», состоящая из 12 региональных представительств (i – номер представительства), продает кухонные принадлежности, рассылая каталоги по почте. Данные, иллюстрирующие количество рассылок (x, тыс. адресов) и объем выручки региональных представительств компании (y, млн у.е.):

i
x
y	17,5	24,5	29,5	18,5

Для пункта 7 d = 5 %.

5. Имеются данные о количестве копий (x, тыс. шт.), сделанных копировальными машинами различных марок в издательских центрах города и стоимости технического обслуживания копировальных машин (y, тыс. у.е.):

i
x
y	1,4	1,6	1,7	1,75	1,85	2,4	2,7	2,8	2,8	2,7	2,9

Для пункта 7 d = 8 %.

6. Имеются данные по 12 группам населения о среднегодовом доходе и уровне потребления мяса жителями штата Канзас (США):

i
x	41,2	35,3	40,7	55,1	80,1	65,9	64,2	70,5	61,1	51,7	59,4	65,8
y	41,5	29,6	31,8	69,8	100,5	93,3	82,1	77,4	55,7	38,9	45,2	60,2

Для пункта 7 d = 4 %.

7. По территориям некоторых регионов (i – номер региона) известны данные за год по среднедневной заработной плате (y, руб.) и среднедушевому прожиточному минимуму в день одного трудоспособного (x, руб.):

i
x
y

Для пункта 7 d = 3 %.

8. Имеются данные по 10 хозяйствам (i – номер хозяйства) по урожайности (y, ц/га) и количеству внесенных удобрений (x, кг/га):

i
x	2,1	3,6	3,5	5,0	6,5	4,2	6,3	4,0	6,0	7,5
y

Для пункта 7 d = 9 %.

9. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхования на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке анализируется зависимость стоимости ущерба (y, млн руб.), нанесенного пожаром, от расстояния до ближайшей пожарной станции (x, км):

i
x	4,5	3,8	5,1	4,8	10,1	8,2	6,1	9,2	3,1	2,1
y	25,0	38,9	68,1	75,4	91,4	55,3	40,7	79,3	88,8	19,1

Для пункта 7 d = 10 %.

10. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом (y, тыс. км) автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания (x, у.е.):

2018-07-06

1601

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Обсуждение в статье: Тема: « Парная регрессия и корреляция».

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓