Тема 3. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Средние величины в статистике играют очень важную роль, поскольку являются обобщающими характеристиками большого количества индивидуальных значений варьирующего признака.

Средней величиной называют обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления вконкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Например, обобщающим показателем доходов рабочих фирмы служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих фирмы. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости, исключая имеющих льготы и дополнительные доходы, можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.

Вычислениесреднего - один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия законабольших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несуществующих особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних обобщающих характеристик совокупностей.

Разнообразие изучаемых статистикой массовых общественных явлений и процессов требует использования различного вида средних величин. Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания. Чаще всего в экономическом анализе применяются следующие:

1. Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних, применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений.

где Х1, Х2, ..., Хn -индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); n - число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случае, когда варианты повторяются различное число раз и для удобства их группируют.

Средняя арифметическая взвешенная - средняя сгруппированных величин.

где f1,f2,...,fn - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

SXf - сумма произведений величины признаков на их частоты;

Sf- общая численность единиц совокупности.

Прирасчете средней по данным интервального вариационного ряда в качестве варианта признака (в дискретной форме принимается середина интервала соответствующей группы). Например, рабочие группируются по зарплате в интервале 200-300 руб. 300-400 руб. и т.д.

Для расчета средней берем 250 руб., 350 руб., и т.д.

2. Средняя гармоническая применяется в случае, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам Х совокупности, а представлена как их произведение W=X×f

3. Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики (Yi/Yi-1), т. е. характеризует коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений вариантов признака Х :

где n - число вариантов , P - знак произведения

Средняя величена дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее.

Чем больше варианты отдельных единицсовокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Возникает необходимость измерять вариацию признакав совокупности. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значением признака: R=X_max-X_min .

Среднее линейное отклонение`d представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней арифметической

где n- число членов ряда .

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариант от их средней величины:

Среднее квадратичное отклонение d равно корню квадратному из дисперсии:

Среднее квадратичное отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; она показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемостипризнака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому хорошо интерпретируется. Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратичного отклонения, тем однороднее совокупность (количественно) и тем более типичной будет средняя величина.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

ПРИМЕР: Определите среднюю заработную плату для работников предприятия и показатели вариации рабочих по заработной плате

Заработная плата, руб.	Число рабочих, f
до 180				+73
180-200				+53
200-220				+33
220-240				+13
240-260				+7	+175
260-280
280-300
ИТОГО:

Средняя заработная платаХ= 27950/115=243 руб.

Среднее линейное отклонениеЛ= 3305/115 =28,7 руб.

Следовательно, средняя заработная плата колеблется в пределах 214,3¸271,7 руб.

(`Х=243±28,7).

Дисперсия:

Средний квадрат отклонений заработной платы от ее средней величины составляет 1169 руб.

Среднее квадратическое отклонение:

Средняя заработная плата колеблется в пределах 208,8 - 277,2 руб.

(`Х=243±34,2 руб.).

Коэффициент вариации:

V=(34,2/243)× 100=14,1%.

Величина коэффициента вариации не большая, следовательно, разброс значений заработной платы около ее средней не велик, таким образом можно сделать вывод, что совокупность однородна по составу, а средняя вполне представительна.