Статическая электропроводность и теплопроводность металлов по Друде

Таким образом, мы получили линейную зависимость j от E и нашли для проводимости σ выражение, в которое входит только известные величины и время релаксации τ. Это время релаксации можно теперь определить из экспериментальных значений σ и оно оказывается при комнатных температурах порядка τ ~ 10^-14 – 10^-15 с.

Заметим, что в теории Друде распределение электронов по скоростям соответствует газокинетической теории в виде т.н. максвелловского распределения, т.е.

Оценки здесь средней тепловой скорости электронов дают значения порядка v_Te ~ 10⁵ м/с. Эта скорость определяет среднюю длину свободного пробега электрона λ = v_Te∙ τ ~ 10^-10 – 10^-9 м, что сравнимо с межатомными расстояниями в металле и тем самым, казалось бы, подтверждает разумность всех предпосылок теории Друде.

Другим впечатляющим успехом модели Друде в то время, когда она была предложена, явилось объяснение эмпирического закона Видемана и Франца (1853 г.), связывающего тепловые и электрические свойства металлов. Напомним, что в соответствии с известным уравнением Фурье, плотность потока тепла j_q пропорциональна градиенту температуры T, что выражается, например, в одномерном случае в виде

j_q = - χ ∙dT/dx

где χ – коэффициент теплопроводности. Закон Видемана-Франца утверждает, что отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности χ/σ для большинства металлов прямо пропорционален температуре, причем коэффициент пропорциональности c достаточной точностью одинаков для всех металлов, т.е.

χ /σ = cT

Для объяснения этой закономерности в рамках модели Друде предполагается, что основная часть теплового потока в металле переносится электронами проводимости. Это предположение основано на том эмпирическом наблюдении, что металлы гораздо лучше проводят тепло, чем диэлектрики. Соответствующие расчеты в рамках названной модели приводят к следующему значению коэффициента c:

с =

близкому к экспериментальным значениям этого коэффициента.

Несмотря на эти и некоторые другие успехи, у модели Друде, однако, довольно быстро были выявлены значительные изъяны. Например, в реальности, как выяснилось, тепловые скорости электронов в металлах более чем на порядок превышают рассчитанные по теории Друде. Кроме того, теория Друде не может объяснить появления при низких температурах длины свободного пробега электронов, в 1000 и более раз превышающую значение межатомного расстояния. Но наиболее впечатляющим недостатком модели Друде является невозможность объяснения практического отсутствия влияния электронов на теплоемкость металла. А ведь в соответствии с теорией свободных и независимых электронов каждый электрон должен был бы обладать средней энергией , что в итоге обеспечивало бы добавочный вклад не менее в молярную теплоемкость любого металла. Однако такой вклад не был обнаружен ни в одном эксперименте!!

Все указанные и многие другие недостатки модели Друде связаны с отсутствием учета квантово-механических явлений, рассмотренных далее. Справедливости ради надо указать, что во время формулирования модели Друде и проведения расчетов на ее основе развернутых квантовых представлений применительно к твердому телу еще не существовало.