Эффективная масса электрона

До сих пор обсуждалось поведение электрона, находящегося в собственном поле решетки. Однако на движущийся электрон может действовать и стороннее, т.е. внешнее электрическое или магнитное поле. Электрическое поле может изменять энергетическое состояние электрона, однако это изменение зависит и от особенностей поведения конкретного электрона в поле решетки (через конкретную совокупность E и k и их положения на дисперсионной кривой). Поэтому, чтобы вычленить воздействие внешнего поля на электрон, вводят понятие т.н. эффективной массы m* электрона в кристалле, а само движение электрона во внешнем поле рассматривают в режиме усреднения по потенциальному рельефу решетки. Такое движение можно рассматривать с помощью волнового пакета из блоховских функций, учитывая для каждой волны соотношение E(k) = ћω(k). При этом, как известно, средняя скорость движения электрона равна групповой скорости волнового пакета, а именно

V_гр =

Продифференцируем записанное выражение по времени. Тогда имеем:

Для дальнейшего учтем, что изменение энергии Е электрона равно совершенной над ним работой внешней силы F, т.е.

dE = dA = F∙V_гр∙dt = F∙(dE/dk)∙ћ^-1∙dt

Отсюда получаем соотношение:

Окончательно можем записать:

Это позволяет описать воздействие внешнего поля на электрон в виде

m*∙dV/dt = F ,

где эффективную массу можно определить как

m* =

Из сказанного вытекает, что соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми и для электрона, движущегося в периодическом поле, если в них заменить истинную массу m эффективной массой m*.

Исследуем зависимость эффективной массы от «местоположения» электрона внутри разрешенной энергетической зоны, например, в первой и второй зоне Бриллюэна, изображенных на рис. 2-11. Вблизи дна зоны (см. точки А и А’) ход дисперсионной кривой мало отличается от хода соответствующей кривой для свободных электронов . Значит, здесь m ~ m*. В точке перегиба (точка В) вторая производная равна нулю. Следовательно, m* обращается в бесконечность. Это означает, что внешнее поле не может изменить скорость электрона, находящегося в состоянии с энергией E_B. Вблизи потолка разрешенной зоны вторая производная меньше нуля. В соответствии с этим эффективная масса электронов, занимающих уровни вблизи потолка зоны, оказывается отрицательной. Фактически это означает, что под совместным действием поля решетки и внешнего поля электрон, находящийся в состоянии с энергией Е_С, получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе F.