Статистика фермионов в зонной теории

В предыдущем разделе рассмотрены возможные энергетические состояния электронов в кристаллических телах. Выявлено, что даже на модельном уровне эти состояния имеют зонную структуру, т.е. допустимые энергетические уровни размещаются в т.н. разрешенных зонах, чередующихся с запрещенными зонами, где нет никаких допустимых уровней.

Существование энергетических зон позволяет объяснить с единой точки зрения существование металлов, полупроводников и диэлектриков.

Для дальнейшего важно уяснить, что допустимый уровень может быть или заполнен электроном, или оставаться пустым. Поэтому самостоятельный интерес представляет реальное распределение электронов по энергии в разрешенных зонах (или только в одной разрешенной зоне) с учетом того, что электроны являются фермионами.

Итак, спектр возможных значений энергии валентных электронов в кристалле распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон или полос. Ширина зон не зависит от размеров кристалла, но количество уровней в зоне, примерно, равно общему числу атомов, точнее, числу элементарных ячеек в кристалле. Таким образом, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электрон-вольт. Следовательно, если кристалл содержит 10²³ атомов (т.е. масса порядка одного моля), то расстояние между соседними уровнями составляет около 10 ^-23 эВ.

Каждый энергетический уровень отвечает определенному значению k и соответствует определенному квантовому состоянию. Поскольку спиновое квантовое число m_s = ±s = ±1/2может принимать два значения, на любом разрешенном уровне могут находиться два электрона, обладающие противоположными спинами. Можно по-другому сказать, что число возможных квантовых состояний просто удваивается.

Разрешенную зону, возникшую при сближении атомов до концентрации твердого тела из того уровня, на котором находились валентные электроны в основном состоянии свободного атома, обычно называют валентной зоной. При абсолютном нуле валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны в соответствии с распределением Ферми-Дирака. Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны различные случая, отображенные на рис. 2-12.

Рис. 2-12. Зонная картина твердого тела: а и б – металл; в – полупроводник; г - диэлектрик

В случае а электроны заполняют валентную зону не полностью. При Т = 0 верхний заполненный уровень как раз соответствует уровню Ферми E_Fв соответствии со статистикой Ферми-Дирака.Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях (в районе E_F), совсем небольшую дополнительную энергию (10 ^-23 – 10 ^-22 эВ), для того чтобы перевести их на еще более высокие уровни. Энергия теплового движения порядка kT и уже при температуре 1 К составляет величину около 10 ^-4 эВ. Следовательно, при температурах, отличных от абсолютного нуля, часть электронов переводиться на более высокие уровни. Дополнительная энергия, вызванная действием на электрон электрического поля, также оказывается достаточной для перевода электрона на более высокие уровни. Поэтому электроны, имеющие возможность перехода на соседние энергетические уровни, могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля (т.к. заряд электрона отрицательный). Таким образом, кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собою металл.

В случае б валентная зона заполнена электронами полностью, но она перекрывается со следующей разрешенной зоной, не занятой электронами. Если к такому кристаллу приложить внешнее электрическое поле, то электроны начнут переходить на уровни свободной зоны и возникнет ток. Данный кристалл тоже является металлом.

В случаях в и г уровни валентной зоны полностью заняты электронами – вся зона заполнена. Для того чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии не меньшее, чем ширина запрещенной зоны ΔЕ. Электрическое поле (во всяком случае, такой напряженности, при котором не происходит электрический пробой кристалла) сообщить электрону такую энергию не в состоянии. В подобных условиях электрические свойства кристалла определяются шириной запрещенной зоны. Если эта ширина относительно невелика (порядка нескольких десятых электрон-вольта), энергия теплового движения оказывается достаточной для того, чтобы перевести часть электронов в свободную верхнюю зону. Эти электроны будут находиться там в условиях, аналогичных тем, в которых находятся валентные электроны в металле. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Это можно трактовать как появление в валентной зоне положительных носителей заряда, называемых дырками. Твердое тело с подобными свойствами является полупроводником (случай в на рис. 2-12), а его проводимость, определяемая свободными электронами и дырками, называется собственной. При этом она остается, конечно, существенно ниже, чем у типичных металлов.

Если ширина запрещенной зоны велика (порядка нескольких электрон-вольт), тепловое движение не сможет забросить в свободную зону заметное число электронов. В этом случае кристалл оказывается диэлектриком (случай г), который практически лишен проводимости.