Зависимость собственной проводимости полупроводника от температуры

Собственная проводимость полупроводника, в конечном итоге, определяется количеством электронов (точнее, их концентрацией) в зоне проводимости (и равным им количеством дырок в валентной зоне).

Рис. 3-1. Образование свободных электронов в полупроводнике.

На рис. 3-1 совместно представлены зонная картина энергетических уровней для электронов в полупроводнике и функция Ферми-Дирака (слева), демонстрирующая распределение вероятности заполнения электронами этих уровней при температуре, отличной от нуля.

Соответствующий расчет показывает, что у полупроводников (собственных) уровень Ферми располагается практически по середине запрещенной зоны. Поэтому количество электронов, перешедших в свободную зону, относительно невелико, а вероятность заполнения энергетических уровней даже вблизи дна зоны проводимости очень мала. При аналитическом описании распределения только этих электронов можно существенно упростить вид функции f(E), которая для малых значений f преобразуется в т.н. формулу Максвелла-Больцмана, а именно:

f(E) = exp[-(E-E_F)/kT]

Поскольку электроны проводимости концентрируются вблизи дна зоны проводимости, т.е. для всех них можно принять практически одно и то же значение Е = Е_с, равное энергетическому уровню дна зоны проводимости, то, обозначив ΔЕ /2 = Е_с – Е_F , получаем

f(E) = exp(-ΔE / 2kT)

Количество свободных электронов n (и дырок) будет пропорционально полученному выражению. Следовательно, электропроводность собственных полупроводников быстро растет с температурой, что можно выразить формулой

σ = σ₀ ·exp(-ΔE / 2kT)

Здесь ΔЕ – ширина запрещенной зоны, а σ₀ – величина, изменяющаяся с температурой гораздо медленнее, чем экспонента, в связи с чем ее можно в первом приближении считать константой.

Рис. 3-2. Зависимость концентрации собственных носителей

от обратной температуры для наиболее распространенных полупроводников –

кремния, германия, арсенида галлия и фосфида галлия.

Наглядно зависимость от температуры концентрации собственных носителей (и пропорциональной ей проводимости) можно представить в виде графика для n, приведенный на рис. 3-2.

Вышеприведенные рассуждения можно рассматривать как основу для некоторых инженерных расчетов электронной проводимости полупроводника. С точки зрения физики, точный расчет концентрации электронов в зоне проводимости собственного полупроводника представляет принципиальный интерес, поскольку позволяет определить степень достоверности и обоснованности вышеуказанных инженерных расчетов. Поэтому ниже проведен соответствующий анализ и расчет этой концентрации.

Предварительно сделаем некоторые важные замечания. В большинстве случаев зависимости величины энергии Е от модуля волнового вектора k вблизи нижней границы зоны проводимости и верхней границы валентной зоны (и только там!!) можно аппроксимировать параболой E ~ k², как это показано на рис. 3-3.

Рис. 3-3. Зависимости E(k) вблизи границ зоны проводимости и валентной зоны.

Этот важный факт обсудим более подробно, а именно, разложим функцию E(k) в ряд вблизи экстремума, т.е. точки k = 0:

,,,,,

Обычно при расчетах в зонной теории удобно отсчитывать энергию от дна зоны проводимости, т.е. при k = 0 принимается E(0) = 0. Учитывая, что в точке экстремума , и отбрасывая слагаемые более высокого порядка, чем k², окончательно получаем:

Этому выражению удобно придать вид формулы, напоминающей соответствующее выражение для свободного электрона, а именно:

,

т.е. здесь масса свободного электрона заменена на эффективную массу электрона в полупроводнике, выражение для которой было получено ранее. Отметим, что, продолжая сравнение со свободным электроном, можно ввести понятие о т.н. псевдоимпульсе электрона в полупроводнике, равном p* = ћk,

Аналогично для валентной зоны (у ее «потолка») можно записать зависимость энергии электронов от модуля волнового вектора в виде:

Здесь - эффективная масса электронов в валентной зоне. Если в каких-то случаях можно положить E_v = 0, то и зависимость E(k) для валентных электронов, т.е. для дырок будет похожа на соответствующую зависимость электронов в зоне проводимости. Отличие будет заключаться лишь в том, что ось энергий для электронов направлена вверх, а для дырок вниз; кроме того, эффективные массы электронов зоны проводимости и дырок не только имеют разные знаки, но и, в общем случае, неодинаковы по величине.

Теперь, после сделанных замечаний, вернемся к задаче расчета концентрации электронов в зоне проводимости. Мы будем считать, что электроны попадают в зону проводимости только в результате прямых межзонных переходов, т.е. исключаем из рассмотрения локальные уровни, возникающие из-за разных дефектов и неконтролируемых примесей. Энергии, соответствующие нижней и верхней границе зоны проводимости, обозначим через Е_с и Е_m, потолок валентной зоны – через Е_v (см. рис. 3-1)

Если dn(E) – концентрация электронов, обладающих энергией в интервале E, E+dE, то dn(E) = g(E)∙f_Fd(E)∙dE, где g(E) – плотность состояний, а f_FD(E) – функция Ферми-Дирака и положение графика f_FD(E) по отношению к зонам энергии определяется уровнем Ферми E_F.

Плотность состояний g(E) в нижней половине зоны проводимости, где электроны ведут себя почти как идеальный газ, для которого E = (p*)² / 2m*, растет пропорционально E^1/2. Однако гораздо быстрее (экспоненциально!!) спадает функция f_FD(E), поэтому произведение g(E)∙f_Fd(E) , пропорциональное dn(E), представляет собой узкий пик вблизи дна зоны проводимости.

Очевидно, что полная концентрация электронов, обладающих любыми значениями энергии в интервале от Е_с до Е_m, может быть выражена в следующем виде:

n =

Верхний предел интегрирования можно продлить до бесконечности, т.к. в верхней части зоны проводимости электронов практически уже нет.

Отдельно надо подсчитать плотность состояний g(E). Напомним, что согласно выводам статистической физики число состояний для заданного объема фазового пространства ΔГ = Δp_x Δp_y Δp_z Δx Δy Δz равно ΔГ/ h³. Поскольку p* = (2m*E)^1/2, то имеем

dp = (1/2) (2m*)^1/2 E^-1/2 dE

Очевидно, что число состояний в фазовом объеме, соответствующем значениям импульса электрона от p до p+dp, при равновероятном расположении в любой точке координатного объема V, можно записать как

Z(p) = 4πp² dp∙V /h³

Это значение надо удвоить при учете спина электрона, т.е. имеем

Z(p) = 8πp² dp∙V /h³

Заменив в Z(p) значение dp на (1/2) (2m)^1/2 E^-1/2 dE , а также разделив его на объем V, мы получим плотность состояний g(E) (т.е. число состояний на единицу координатного объема) как множитель при dE, а именно:

g(E) = 4π(2m*)^3/2 E^1/2 / h³

Возвращаясь к формуле для полной концентрации n, можно записать

n =

Поскольку в собственном полупроводнике E-E_F >> kT, то единицей в знаменателе можно пренебречь. Тогда

n =

Проведя численное интегрирование интеграла для типичного значения E_c = 5 эВ, можно получить оценку в виде

n =

При комнатной температуре концентрация электронов проводимости в полупроводнике составляет n ≈ 2,5 ∙10¹³ см^-3 , тогда как полная концентрация валентных электронов типичном полупроводнике n_o ≈ 10²² – 10²³ см^-3. Другими словами, очень малая доля валентных электронов участвует в создании проводимости в полупроводнике, что и объясняет ее относительно небольшое значение по сравнению с металлами.