Дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал.

Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:
Δz = f(x + Δх; у + Δу) - f(x; у).

Функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Δz = А*Δх + В*Δу + α*Δх + β*Δу, (1)

где α = α(Δх, Δу) →0 и β= β(Δх, Δу) →0 при Δх →0, Δу →0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращение функции z = f(x; у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz = А*Δх + В *Δу. (2)

Выражения А· Δх и В· Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх = dx и Δу = dy. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде dz = А*dx + В*dy. (3)
Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = f(x; у) дифференцируема в точке М(х; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные  и  причем =А, =В.
Формула для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

dz = dx + dy (5)
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = f ( x ; у) имеет непрерывные частные производные  и  в точке М(х;y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (5).
Отметим, что для функции y= f(x) одной переменной существование производной f'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция z = f(x;y) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

19. Производные от сложных функций нескольких переменных. Неявные функции нескольких переменных.
Пусть z = f(x; у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х =x(t), y =y(t). В этом случае функция z = f(x(t); y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у – промежуточные переменные.
Теорема 1. Если z = f(x; у) - дифференцируемая в точке М(х; у) ϵ D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t); y(t)) вычисляется по формуле
= *  + *  (1)

Частный случай: z = f(x; у), где у = у(х), т. е. z = f(x; у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
= *  + *  или =  + *  (2)

Формула (2) носит название формулы полной производной.
Общий случай : z = f(x; у), где х = х(u; v), у = у(u; v). Тогда z = f(x(u; v); у(u; v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные и   можно найти, используя формулу (1) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , ,  соответствующими частными производными , ,  :
= *  + *

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).