III. Требования к уровню подготовки учащихся

По окончании обучения учащиеся должны знать:

Ø нестандартные методы решения различных математических задач;

Ø логические приемы, применяемые при решении задач;

Ø исторический путь развития науки.

 

По окончании обучения учащиеся должны уметь:

Ø выполнять построения и проводить исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

Ø выполнять и самостоятельно составлять алгоритмические предписания и инструкции на математическом материале, выполнять расчеты практического характера, использовать математические формулы и самостоятельно составлять формулы на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

Ø добывать нужную информацию из различных источников;

Ø проводить доказательные рассуждения, логически обосновывать выводы;

Ø обладать опытом самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

 

IV. Методическое обеспечение

Математические задачи могут иметь своей дидактической целью подготовку к изучению теоретических вопросов математики (новых понятий, методов, теорем). Такая же цель ставится перед решением задач, с помощью которых перед изучением новых теоретических вопросов в памяти и сознании учащихся восстанавливаются те сведения, знание которых необходимо для изучения новых математических фактов.

 Так как программа предусматривает расширенное изучение некоторых тем математики, а иногда и углубленное, то при изложении нового материала можно использовать метод обучения через задачи. (Схема 1).

 

Схема 1.

 

 

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признаки делимости позволяют в некоторых случаях быстро установить, делится ли одно число на другое, не выполняя непосредственное деление.

Перечислим некоторые признаки делимости, связанные с десятичной записью числа:

Признак делимости на 2: число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на четную цифру;

Признак делимости на3 (на 9): число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9);

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4; 

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5;

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8;

Признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа, стоящих на четных местах, и сумма цифр, стоящих на нечетных местах, дают одинаковые остатки при делении на 11.  

Пример 1. Делится ли число   на 8?

Решение. Число, образованное тремя последними цифрами – это 444. По признаку делимости данное число не делится на 8 поскольку 444 не делится на 8.

Ответ: Нет.

Пример 2. Найти две последние цифры числа 82**, если оно делится на 90.

Решение. Разложим 90 на множители так: . Число делится на 10, значит, оканчивается нулем. Поскольку оно делится и на 9, третья цифра может равняться только 8 (иначе сумма цифр числа не делится на 9).

Ответ: это число 8280.

Пример 3. Найти цифры  х и у числа , если это число делится на 72.

 

Решение. Разложим 72 на множители так: . Числа 9 и 8 взаимно просты, поэтому, чтобы условие удовлетворялось, достаточно проверить признаки делимости на 9 и на 8. Сумма цифр числа должна делится на 9, поэтому,  равно либо 8, либо 17 (при этом сумма цифр числа равна либо 18, либо 27).

Если , цифры  х и у – это 8 и 9 (никакие другие две цифры в сумме не дают 17). Поскольку у – это четная цифра (это необходимо, чтобы число делилось на 8), искомое число должно быть равно 42948. Но это число не делится на 8.

Если , по признаку делимости на 4, у может равняться только 0, 4 или 8. Тогда цифра х  равна 8, 4 или 0 соответственно. Из чисел 42048, 42444, 42840 на 8 делятся только 42048 и 42840. 

Ответ:  или .

Пример 4. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9? Чему равно это наибольшее число?

 

Решение. Сумма цифр данного числа равна 24. После стирания цифр должно остаться число с суммой цифр, кратной 9. Поскольку мы ищем наибольшее из таких чисел, сумма его цифр должна быть равна 18. Значит, сумма стертых цифр должна быть равна 6. Чтобы оставшееся число было как можно больше, количество стертых цифр должно быть как можно меньше. Значит, нужно стереть две тройки. Оставшееся десятизначное число будет больше, если в старших разрядах оно содержит большие цифры. Поэтому, нужно стирать две последние тройки. Оставшееся число – 3213212121.

Ответ: две последние тройки; 3213212121.

 

Пример 5. Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются

а) в 5 раз;        б) в 6 раз;   в) в 8 раз?

 

Решение. а) Если бы существовало число, увеличивающееся в 5 раз от перестановки начальной цифры в конец, то оно начиналось бы с 1 (если бы оно начиналось с другой ненулевой цифры, то число, в 5 раз большее имеет большее количество знаков в своей записи). Но число, оканчивающееся на  1, не может быть в 5 раз больше никакого целого числа. В пунктах б) и в) точно такое же рассуждение.

Пример 6. Петя заменил в примере на умножение одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными и получил . Докажите, что он ошибся.

 

Решение. Число ДДЕЕ делится на 11, поскольку суммы цифр на четных и нечетных местах одинаковы. Но левая часть равенства не делится 11, поскольку в двузначных числах АБ и ВГ  цифры разные. Поэтому, правая и левая части не равны друг другу.

Пример 7. А – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Доказать, что А  не делится на 11.

Решение. Разобьем 6 данных чисел на две тройки всеми возможными способами: 1, 2, 3 и 4, 5, 6; 1, 2, 4 и 3, 5, 6; 1, 2, 5 и 3, 4, 6; 1, 2, 6 и 3, 4, 5; 1, 3, 4 и 2, 5, 6; 1, 3, 5 и 2, 4, 6; 1, 3, 6 и 2, 4, 5; 1, 4, 5 и 2, 3, 6; 1, 4, 6 и 2, 3, 5; 1, 5, 6 и 2, 3, 4. В каждом из этих разбиений суммы чисел в группах дают разные остатки при делении на 11. Поэтому, как бы мы ни составили шестизначное число, оно не будет делиться на 11.

Пример 8. Число   делится на 7. Доказать, что оно делится на 13.

 

Решение. Проверка показывает, что число, в записи которого 6 единиц, делится на 7, а числа, записываемые меньшим числом единиц, на 7 не делятся. Поэтому, понятно, что  такое число делится на 7 только если число единиц в его записи кратно 6. А такое число делится на .

Пример 9. Трехзначное число приписали к такому же трехзначному числу. Доказать, что полученное шестизначное число делится на 7, на 11 и на 13.

 

Решение. Представим шестизначное число в виде . Поскольку , это число делится на 7, на 11 и на 13.

Пример 10. Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Доказать, что его предпоследняя цифра нечетна.

Решение. Поскольку последняя цифра – 6, то возводимое в квадрат число четно. Так как квадрат четного числа делится на 4, число образованное двумя последними цифрами, должно делится на 4. Запишем все двузначные числа, делящиеся на 4 и оканчивающиеся на 6: 16; 36; 56; 76; 96. У всех этих чисел цифра десятков нечетная.

Пример 11. Найти наибольший общий делитель всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).

 

Решение. Сумма цифр каждого такого числа равна 21, значит, каждое число делится на 3, но не делится на 9. Разность любой пары таких чисел делится на их наибольший общий делитель. Рассмотрим одну из таких разностей: . Значит, 9 делится на искомый НОД. Следовательно, это 3. 

Ответ: 3.