Примеры решения задач.
Пример 1. Две стороны треугольника имеют длины 7 см и 12 см, а угол между ними равен . Найти третью сторону треугольника. Решение. Запишем теорему косинусов для данного треугольника (рис. 3): .
Рис. 3 Тогда или, учитывая, что , находим: ; ; см. Ответ: см.
Пример 2. Найти сторону АВ треугольника АВС, если АС = 6 см, ВС = 4 см, Ð ВАС=30°. Решение. Пусть АВ = х. Запишем теорему косинусов для треугольника АВС: . Подставив данные величины, получаем (рис. 4): ; . Отсюда .
Рис. 4 Решая квадратное уравнение, находим: . Оба корня удовлетворяют условию, поскольку существуют два различных треугольника, удовлетворяющих условию - и (рис. 5). Рис. 5 Ответ: см.
Пример 3. Стороны треугольника равны см, см и 11 см. Найти наибольший угол этого треугольника. Решение. Наибольший угол треугольника лежит против его большей стороны. Запишем теорему косинусов для угла , лежащего против стороны длиной см: ; . Значит, . Ответ: . Пример 4. Выяснить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если длины его сторон равны 23 см; 17 см; 19 см. Решение. Наибольшая сторона треугольника имеет длину 23 см. Воспользуемся теоремой 3.2. Для этого сравним величины и . Поскольку вторая из них больше, данный треугольник – остроугольный. Ответ: остроугольный.
Пример 5. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, а одна из диагоналей – см. Найти вторую диагональ параллелограмма. Решение. Обозначим неизвестную диагональ через х. Тогда по теореме 3.3 запишем: . Отсюда . Значит, х = 6 см. Ответ: 6 см.
Пример 6. Одна из сторон треугольника равна 3 см, а две другие стороны относятся как . Найти величину угла между этими двумя сторонами, если периметр треугольника равен см. Решение. Поскольку отношение неизвестных сторон равно , обозначим их через и x. Тогда, записывая периметр треугольника, получим уравнение: . Отсюда , то есть . Значит, неизвестные стороны треугольника равны 3 и . Если угол между ними обозначить через , то по следствию 1 из теоремы косинусов получим: , то есть . Это означает, что . Ответ: . Пример 7. Две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, а синус угла между ними равен . Найти третью сторону треугольника. Решение. Поскольку синус угла между данными сторонами треугольника равен , косинус этого угла найдем из соотношения : . Следовательно, равен или . Применим теперь теорему косинусов для нахождения неизвестной стороны x: или . То есть или . Ответ: см или см.
Пример 8. Основания трапеции равны 4 см и 11 см, а боковые стороны – 5 см и 6 см. Найти косинусы всех углов трапеции.
Решение. Пусть в трапеции ABCD см, см, см, см, , .
Рис. 6
Проведем через вершину С прямую СК, параллельную АВ. Тогда четырехугольник АВСК – параллелограмм, у которого см, см. В треугольнике KCD см, . Таким образом, в треугольнике KCD известны длины всех сторон. По следствию 1 из теоремы косинусов получим: , то есть . Аналогично, , то есть . Поскольку , а , и . Ответ: , , , .
Пример 9. В треугольнике АВС см, см. Расстояние от середины стороны ВС до стороны АС равно 12 см. Найти длину стороны АС.
Решение. Пусть М – середина стороны ВС, а N – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на сторону АВ.
Рис. 7 Тогда, по теореме Пифагора, см. Значит, . Можно применить теорему косинусов к треугольнику АВС: ; ; . Ответ: 25 см. Пример 10. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 11 см и 21 см и боковой стороной 13 см. Решение. Проведем в трапеции ABCD высоты из вершин В и С (рис. 8). Рис. 8 Отрезок АК равен 5 см. Значит, . Применим теорему косинусов к треугольнику ABD: ; . Отсюда см. Ответ: 20 см. Пример 11. В треугольнике АВС стороны имеют следующие длины: см, см, см. На стороне ВС отметили точку К такую, что . Найти длину отрезка АК. Рис. 9 Решение. 1 способ. Поскольку , а см, получим, что см, см. Обозначим угол ВКА через , тогда . Если см, то можем записать теорему косинусов для треугольников АВК и АКС: Умножая первое уравнение на 4, а второе на 3, получим: Сложим эти уравнения: , тогда , а . 2 способ. Пользуясь следствием 1, найдем косинус угла АВС: ; . Теперь, применяя теорему косинусов к треугольнику АВК, найдем АК: ; ; . Ответ: см. Пример 12. Стороны параллелограмма имеют длины 6 см и 11 см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Решение. Если тупой угол параллелограмма равен , то острый его угол равен . Применим теорему косинусов к треугольнику BCD:
; ; .
Рис. 10 Применим теорему косинусов к треугольнику А BC: ; ; .
Рис. 11 Ответ: см и см.
Пример 13. Найти диагонали параллелограмма, если они относятся как 4:7, а стороны параллелограмма равны 7 см и 9 см. Решение. Введем коэффициент пропорциональности , тогда диагонали параллелограмма можно записать как 4х и 7х. Используя формулу следствия 3, получаем: . Тогда . Отсюда , а диагонали параллелограмма равны 8см и 14 см. Ответ: 8см и 14 см. Пример 14. На диагонали прямоугольника со сторонами 10 см и 24 см отмечена точка, делящая эту диагональ в отношении 6:7. Найти расстояния от этой точки до всех вершин прямоугольника. Решение. Если стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см, то его диагональ равна 26 см (по теореме Пифагора). Пусть точка М делит диагональ АС в отношении 6:7 (см. рис. 12), тогда см и см. Обозначим углы ВСА и CAD через . Тогда . Применим теорему косинусов к треугольникам ВМС и А MD: ; . Отсюда см, а см.
Рис. 12 Ответ: 12 см, 14 см, см и см.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (282)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |