Решение заданий для тренировки

1. Выясним, сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

Ответ: на тридцать седьмое место.

2. Наибольшее число, квадрат которого трехзначный – это  31 . Значит, исходное число было не более 26. Наименьшее число, куб которого пятизначный – это 22 . Тогда исходное число было не менее 26. Следовательно, условию удовлетворяет только число 26.

Ответ: 26.  

3. Пусть x - число людей, вышедших на митинг. Рассмотрим общее число «недовольств». С одной стороны, каждой реформой недовольно ровно 48 жителей, а значит, общее число недовольств равно . С другой стороны, каждый вышедший на митинг недоволен хотя бы тремя реформами. Следовательно, общее число недовольств не меньше, чем 3x. Таким образом, , откуда . Итак, искомое число не больше 80.

Приведём пример, когда на площадь выйдет ровно 80 человек. Выберем среди жителей острова 80 человек и разобьём их на пять групп по 16 человек. Пусть против первой реформы возражают люди из первых трёх групп, против второй - люди из второй, третьей и четвёртой групп, против третьей - люди из третьей, четвёртой и пятой групп, против четвёртой - люди из четвёртой, пятой и первой групп, а против пятой - люди из пятой, первой и второй групп. Тогда против каждой реформы возражают ровно  человек, и на митинг выйдут выбранные 80 человек.

Ответ. 80.

4. Если бы разрешалось есть одно и то же блюдо вдвоем, Малыш и Карлсон справились бы с завтраком за  минуты (один Малыш съел бы все за 34 минуты, а Карлсон ест в два раза быстрее). Поскольку и Малыш и Карлсон справляются с каждым блюдом за целое число минут, весь завтрак закончится также через целое число минут. Наименьшее целое число, превосходящее , это 12. Покажем, что за 12 минут Малыш и Карлсон могут закончить завтрак. Два торта и пакет молока Карлсон съест за 12 минут, а пакет молока и мороженое Малыш съест за 10 минут и подождет Карлсона.

  5. Поскольку Андрею хватило рубля на две порции, мороженое стоит не дороже 50 копеек. Тогда у Сережи было меньше шести рублей (иначе ему бы хватило даже на 12 порций), а у Васи было меньше 4-х рублей, иначе он мог бы купить не менее восьми порций, а по условию он мог бы купить не более 6 порций. С другой стороны, у Васи было больше 2-х рублей, иначе порция мороженого стоила бы больше, чем , но меньше, чем , то есть от 29 до 33 копеек включительно. Но в этом случае у Сережи было бы не менее 4-х рублей (11 порций стоят не менее  копеек), но и не более 3-х рублей (12 порций стоят не более  копеек, тогда Сережа сможет купить даже 12 порций). Следовательно, у Васи могло быть только 3 рубля, и на 7 порций этого не хватало. Значит, одна порция стоила больше 42 копеек ( ), то есть, не менее 43 копеек. Тогда на 11 порций Сережа потратил бы не менее  копейки. Следовательно, у Сережи могло быть только 5 рублей. При этом порция мороженого не может стоить дороже 45 копеек ( , а ). Вместе у Васи с Сережей 8 рублей, чего не хватает на 18 порций. Значит, порция стоит более 44 копеек ( ). Это означает, что порция стоит 45 копеек.

  Ответ: 45 копеек.

6. Поскольку число хлопушек у Кролика увеличилось в 10 раз, он получил в подарок в 9 раз больше хлопушек, чем имел до этого. Если бы у Кролика сначала было более двух хлопушек (не менее трех), то ему подарили не менее 27 штук. Еще не менее двух хлопушек было у Тигры. Тогда у всех обитателей Леса, которые сделали Кролику подарки, сначала было не более   штук, следовательно, они не могли подарить 27 хлопушек Кролику. Это означает, что у Кролика сначала было две хлопушки. Следовательно, ему подарили 18 штук, после чего у даривших осталось еще 18 штук. Значит, у Тигры было  хлопушек.

Ответ: 17.

7. Пусть у Ани было  х листочков. Тогда у Сани было не менее   листочка, а у Вани – не менее . Значит, Ваня нарисовал не менее   чертиков, а Саня – не менее  чертиков. Значит, Аня нарисовала не менее  чертиков. Но так как у Ани было всего  х листочков, то она не могла нарисовать больше  чертиков. Следовательно, , откуда .

8. Рыжиков в корзине не менее 19 (если бы их было 18 или меньше, можно было бы выбрать 12 белых грибов, что противоречит условию). Аналогично, белых грибов не менее 11. Если бы количество рыжиков было больше 19 или количество белых грибов было больше 11, общее число грибов превышало бы 30, что противоречит условию.

Ответ: 19 рыжиков, 11 белых.

9. Пусть у Ниф-Нифа   золотых, тогда домик стоит   золотых, у Нуф-Нуфа , а у Наф-Нафа   золотых. Общее количество денег у поросят равно . Они смогут купить домик, если выполняется неравенство:

                                , т.е. .

Так как по смыслу задачи , то неравенство действительно выполняется и поросята вместе смогут купить домик. 

Контрольное задание.

1. 9 одинаковых книг стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких книг стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна книга?

2. Буратино хочет купить букварь с цветными картинками, но ему не хватает   сольдо. На этот же букварь Мальвине не хватает   сольдо, а Пьеро -   сольдо. Смогут ли Пьеро и Мальвина вместе купить один букварь на двоих?

3. Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 50 можно выбрать так, чтобы среди них не было двух чисел, отличающихся ровно в три раза?

4. Десять добрых молодцев хотят улететь на ковре-самолете. У первого из них есть 5 копеек, у второго – 10, у третьего – 15, и т.д., у десятого – 50. У каждого из них вся сумма имеется в виде одной монеты. Смогут ли они честно расплатиться с ковром-самолетом, если он не разменивает деньги и сдачу не дает?    

5. Турист проверил мотор своего катера и определил, что заправив полный бак, он может проплыть либо 60 км против течения реки, либо 120 км по течению. На какое наибольшее расстояние от пристани по реке он может отплыть при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь?

6. Путешественник находится в поселке с неограниченным запасом воды во флягах. Он дол­жен пересечь пустыню шириной 80 км. Известно, что за день он может пройти 20 км. Он в состоянии нести с собой запас воды только на 3 дня. Фляги можно оставлять в пустыне без присмотра. Может ли путешественник пересечь пустыню за 6 дней? За сколько дней можно пересечь пустыню шириной в 100 км?

7. На счету лежит 1000 рублей. В банк можно положить за один раз 120 рублей или снять 300 рублей. Можно ли после нескольких операций снять со счета более 950 рублей? Какую наибольшую сумму можно снять?

8. Для окраски одной грани кубика требуется 5 секунд. За какое наименьшее время 3 человека могут покрасить 188 кубиков, если один кубик одновременно не могут красить два человека?

9. Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за 3 часа? Скорость пешехода равна 5 км/ч, скорость мотоцикла (с грузом или без груза) – 50 км/ч.

10. Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живет в 33 км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25 км/ч, а с пассажиром – 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идет по дороге со скоростью 5 км/ч. Как им надо действовать, чтобы через 3 часа всей компанией оказаться у бабушки?

11. Обезьяна становится счастливой, когда съедает 3 разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?    

12. Мальчиш Плохиш хочет купить варенье, печенье и конфеты. Если он купит только бочку варенья, то у него останется   доллара, если же только корзину печенья – то   доллара, а если только коробку конфет, то останется   долларов. Хватит ли у Плохиша денег, чтобы купить бочку варенья и корзину печенья?

ПОЗИЦИОННАЯ ЗАПИСЬ ЧИСЛА В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ

В олимпиадной практике постоянно встречаются задачи, связанные с числами. Часто для их успешного решения удобно пользоваться позиционной записью числа, то есть использовать представление числа выражением, состоящим из его цифр. Например, двузначное число с цифрой десятков а  и с цифрой единиц b  можно записать в виде . Обозначают его так: . Для трехзначного числа аналогично можно записать: . Вообще, число с любым количеством знаков можно представить в следующем виде: . Если заданы некоторые соотношения между числами, использующие условия, связанные с их цифрами, будем пользоваться такими записями. Это поможет провести анализ ситуации. При этом, будем помнить, что имеем дело с уравнениями или системами, переменные в которых – это цифры. 

Пример 1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц – на 3 и сложить оба произведения, то в сумме получится 29. Найти это число.

Решение. Сумма цифр двузначного числа   равна . По условию, . Решая систему из этих двух уравнений получаем, что , .

Ответ: 75.

Пример 2. Цифра десятков в записи некоторого двузначного числа втрое больше цифры единиц. Если эти цифры переставить, получится число, меньшее данного на 36. Найти  исходное число.

Решение. Обозначим цифру единиц двузначного числа через х, а цифру десятков через у. Запишем исходное число: . По условию . Значит, исходное число равно . После перестановки цифр получится следующее: . Разность этих чисел равна 36: ; ; . Тогда .            

  Ответ: 62. 

Пример 3. Двузначное число в 5 раз больше суммы своих цифр. Что это за число?

Решение. Пусть цифра десятков двузначного числа равна а, а цифра единиц – b. Тогда двузначное число  в 5 раз больше, чем . Отсюда получаем уравнение   или . Это одно уравнение с двумя переменными. Но эти переменные – цифры и мы воспользуемся свойствами делимости. Левая часть последнего равенства делится на 5, значит, и правая часть тоже делится на 5. Это означает, что b делится на 5 (так как 4 и 5 взаимно просты). Поскольку b – цифра, это может быть либо 0, либо 5. Если , то  и число   не двузначное. Если , то , а искомое число – 45.

Ответ: 45.

Пример 4. Найти двузначное число, равное сумме цифры десятков и квадрата цифры единиц. 

Решение. Если исходное число равно , то, по условию, . Отсюда . Произведение двух последовательных чисел в левой части должно делиться на 9, следовательно, , поскольку при ,  а это – не цифра.  

Ответ: 89.

Пример 5. Первая цифра трехзначного числа равна 4. Если ее перенести в конец, получится число, составляющее 3/4 от исходного. Найдите исходное число.

Решение. Трехзначное число  после перестановки цифр становится равным . По условию, . Отсюда   или . Поскольку исходное трехзначное число равно , это число – 432.

Ответ: 432.

Пример 6. У некоторого трехзначного числа переставили две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число, начинающееся на 173. Какой может быть последняя цифра этого числа?

Решение. Пусть исходное число - . Обозначим искомую цифру через х. Тогда, по условию, . Полученное четырехзначное число начинается на 17. Отсюда понятно, что  (если , то первые две цифры суммы образуют число, не большее 15; если же , то первые две цифры суммы образуют число, не меньшее 18). Теперь перепишем имеющееся равенство в виде: , откуда получаем уравнение . Поскольку х – цифра, правая часть последнего равенства не меньше 130 и не больше 139. Это число должно также делится на 11. Среди чисел от 130 до 139 всего одно такое число – 132. Значит, искомая цифра – 2.  

Ответ: 2.

Пример 7. Некоторое трехзначное число после зачеркивания одной цифры уменьшилось в 71 раз. Что это было за число?

Решение. Если в трехзначном числе   зачеркнули цифру, получилось одно из трех чисел , , . Рассмотрим каждую возможность. По условию

1) . Отсюда . Исходное число – трехзначное, поэтому . Но тогда  с не может быть цифрой (правая часть равенства не меньше 610 ). Этот случай невозможен.

2) . Отсюда . Рассуждая так же, как в первом пункте, получаем, что этот случай тоже невозможен.

3) . Отсюда . Правая часть равенства делится на 7, значит, левая часть – тоже. Тогда на 7 делится цифра а. Поскольку цифра а не равна 0, . Тогда равенство перепишется в виде: . Если , правая часть больше левой. Если , то , но цифра не может равняться 10. Значит, , а  

Ответ: 710.