Дифференциальное уравнение Пирсона.
Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей Карпова Наталия Анатольевна Санкт-Петербургский государственный университет Санкт Петербург 2003 Введение. Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д. Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики: получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке; нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками. Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение , а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов. Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения. Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей. Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей. Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид . Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода: метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей, метод Чебышева получения ортогональных полиномов, которые были положены в основу обобщенного метода Грамма – Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей. Глава 1. Система кривых Пирсона. В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы. Дифференциальное уравнение Пирсона. Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой , таким образом, можем записать - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона: (1) и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1). Общий интеграл этого уравнения представим в виде: где . Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения (2), следовательно, от его дискриминанта который можно написать в виде , вводя параметр æ . Или иначе, величину æ можно представить в виде: æ , где величины представимы через центральные моменты статистических распределений к-го порядка, которые определяются по формуле , где есть . Тогда , . Через величины можно представить и величины следующим образом [5]: Величина æ называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и различные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения: А. Если æ , то и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков. В. Если 0< æ<1, то и уравнение (1) имеет комплексные корни. С. Если æ>1, то и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака. Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответственно типами I, IV и VI. Затем æ может равняться , что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую. В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (503)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |