Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.

Пусть даны значения интерполируемой функции ,

соответствующие значения аргумента . Каждому значению аргумента ставится в соответствие частота .

Требуется найти такую целую функцию

,

где , которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы

.

В данной задаче в качестве веса предлагается рассмотреть [8]

,

где n есть

или иначе говоря n - сумма всех испытаний.

Для решения нашей задачи находим коэффициенты , которые определяются из следующих уравнений

;

;

……………………

;

;

После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов

;

;

……………………

……………………

;

……………………

;

где

Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.

Есть другой вариант построения искомого полинома [8].

Пусть будет целая функция от степени , которая обращается в при . Положим

,

где - целые функции степеней , а - коэффициенты.

Пусть теперь сумма первых членов выражения

равняется

,

т.е. .

Каковы в этом случае условия относительно и при которых сумма

имеет наименьшее значение?

Обозначим эту сумму через :

,

и, подставляя в нее

,

составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:

Отсюда следует:

Так как есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида будут равняться 0.

В результате преобразований получим выражения для коэффициентов :

;

;

………………

;

………………

.

Теперь можно представить функцию

в таком виде

.

Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени , достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член

.

Для дальнейшего перехода к целой функции степени , также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы

,

достаточно прибавить к найденному выражению функции степени , такой новый член

.

Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда

Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени , удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.

Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции , определив через данные величины и коэффициенты при в выражении этих функций.

Далее, с помощью разложения дроби

по нисходящим степеням получим, что дробь

,

где

,

дает приближенное представление функции [7]

с точностью до членов степени

включительно. Здесь есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей есть функции степеней ; поэтому можно положить

.

Что касается , то его можно приравнять .

Разлагая

в непрерывную дробь вида

,

где и - некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции для определения этих постоянных через данные значения .

Выражения для будет иметь вид:

.

Выражения для коэффициентов будут следующими:

.

Вводя для сокращения обозначение

через , запишем выражение для в таком виде:

.

Для выражение будет иметь вид

.

Что касается величин и , то они равны соответственно

и .

Теперь перейдем к определению коэффициентов в выражении

.

Для получим выражение

.

Это выражение весьма упростится, если мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что . Тогда , а выражение для будет иметь вид

.

Также упростятся выражения для

и .

Функция станет равной , функции определяются путем последовательных подстановок выражений в формулы

.

При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева

.

Оценка результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному уравнению параболы.

Обозначим сумму квадратов отклонений через . Тогда можно написать

.

будет равняться

,

а выражать рекуррентно через по формуле

.

Итак,

, , ,

, , , ,

, , , , .

Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.