Примеры нахождения кривых распределения вероятностей.

Рассмотрение примеров заключалось в том, что было рассмотрено пятьдесят случайных выборок, а далее были рассмотрены примеры выборок с заданным законом распределения. Согласно рассмотренному ниже алгоритму были произведены соответствующие вычисления, и по каждой выборке была построена кривая распределения вероятностей. При проведении испытаний было получено, что кривая распределения сорока семи из пятидесяти рассмотренных выборок есть кривая Пирсона первого типа, которая определяется следующей формулой:

.

Здесь нужно отметить разнообразие кривых Пирсона, делающее их применение очень гибким. Это означает, что кривые распределения вероятностей первого типа при различных значениях параметров и могут иметь различную форму.

Ниже рассмотрено несколько примеров наиболее часто встретившихся форм кривой распределения I типа.

Пример 1.

Рассмотрим выборку:

1	10,55233622	2	Кривая распределения вероятностей первого типа.
2	13,44763172	2
3	17,80800986	1
4	4,963081479	2	Параметры кривой:
5	14,66424847	2
6	12,436602	1	10,0143
7	9,36697793	2	7,6909
8	15,20854056	1	0,9984
9	15,66078138	2	0,5348
10	8,748272777	2	0,0759
11	9,028156996	1
12	18,93642914	2
13	18,84283829	1
14	14,6049341	1

Следовательно, кривая распределения вероятностей будет определена на промежутке и будет иметь вид:

1

0

Рис.1

Из чего следует, что если параметры кривой распределения первого типа будут находиться в пределах , то мы будем получать форму кривой распределения, изображенную на рис.1.

Из пятидесяти рассмотренных выборок двадцать четыре имеют такую форму кривой распределения вероятностей.

Пример 2.

Рассмотрим другую выборку:

1	8,460199654	2	Кривая распределения вероятностей первого типа.
2	45,34087276	8
3	18,07745451	5
4	5,419406056	8	Параметры кривой:
5	18,67596108	6
6	23,24656701	9	17,4066
7	18,95143622	1	37,6794
8	53,27426755	3	-0,3882
9	54,93095666	1	0,3243
10	24,27284002	2	0,0187
11	17,74883789	4

Кривая распределения вероятностей имеет в этом случае форму, показанную на рис. 2.

1

0

Рис.2

В этом случае параметры кривой распределения будут: . И если параметры кривой распределения другой выборки будут удовлетворять этим неравенствам, то форма кривой распределения этой выборки будет похожа на рис. 2.

Этот случай встретился нам семь раз из пятидесяти.

Пример 3

1	3,881268442	7	Кривая распределения вероятностей первого типа.
2	1,343869925	17
3	3,770335495	11
4	2,860628724	9	Параметры кривой:
5	2,043179214	4
6	1,447737217	10	1,2163
7	2,43993476	13	1,4994
8	1,658227324	8	-0,7286
9	3,98119396	16	-0,6654
10	1,391261339	5	0,1632

Кривая распределения вероятностей имеет вид:

1

0

Рис. 3

Такой будет форма кривой распределения вероятностей, если параметры . Эта форма кривой встречается шестнадцать раз из пятидесяти.

§2. Алгоритм вычислений.

Тип кривой распределения вероятностей

Проверка условий для

 

æ Пирсона

Исходные данные

 

 

i

Метод Пирсона.

Заключение.

В дипломной работе были рассмотрены вопросы нахождения распределения вероятностей по заданным выборочным значениям случайной величины. В первой главе было рассмотрено решение дифференциального уравнения Пирсона, проклассифицированы с помощью æ критерия Пирсона, найдены типы кривых распределения вероятностей и параметры, соответствующие каждому типу.

Во второй главе был рассмотрен подход Чебышева к получению систем ортогональных полиномов, которые обладают свойством метода наименьших квадратов. Было рассмотрено применение способа Чебышева для нахождения кривой распределения вероятностей по обобщенному методу Грамма – Шарлье.

В третьей главе описывается алгоритмическое обеспечение нахождения кривых распределения вероятностей по методу Пирсона.

Результаты дипломной работы могут представлять большое значение для решения многих практических задач, так как часто возникает необходимость по экспериментальным данным оценить распределение вероятностей измеренной случайной величины.

Список литературы

Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1999

Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948

Митропольский А.К. Техника статистических распределений. М.: издательство “Наука”, 1971

Немчинов В.С. Полиномы Чебышева и математическая статистика. М.: издание Московской ордена Ленина сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева, 1946

Романовский В. И. Математическая статистика. Издательство Академии Наук УзССР, 1961

Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: издательство “Наука”, 1976

Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

Хотимский В. И. Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева). М.: Государственное статистическое издательство, 1959