Весовые функции и системы ортогональных полиномов.

В общей теории ортогональных полиномов известно, что система ортогональных полиномов называется классической, если она ортогональна относительно весовой функции, которая является решением дифференциального уравнения Пирсона [2], [6]. То есть, здесь прослеживается связь между теорией классических ортогональных полиномов и задачами математической статистики (нахождением закона распределения вероятностей).

Полиномы Чебышева - Эрмита.

Пусть многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона (1) после переноса начала координат запишется в виде

,

тогда решение этого уравнения запишется в виде

(6).

Линейным преобразованием независимого переменного

эта функция приводится с точностью до постоянного множителя к весовой функции многочленов Чебышева – Эрмита, которая имеет вид

.

Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать . В данном случае ортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные многочлены Чебышева – Эрмита по формуле

.

В этом случае условие ортогональности запишется в виде:

если

Полиномы Чебышева - Лагерра.

Пусть теперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде

.

Тогда его решение запишется в виде

.

Многочлены, ортогональные с таким весом, можно рассматривать как обобщение многочленов Чебышева – Лагерра, ортогональных с весом

.

Причем и здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева – Лагерра , а условие ортогональности будет:

если

Полиномы Якоби.

Предположим, что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля. Тогда , и уравнение Пирсона (1) представимо в виде

,

где и - некоторые постоянные и . Тогда решение уравнения (1)

представимо в виде

и определяет некоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным преобразованием независимого переменного и умножением на постоянную сводится к системе многочленов Якоби . Так как весовая функция многочленов Якоби имеет вид

.

И соответственно условие ортогональности будет иметь вид:

если

Многочлены Чебышева I рода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция, относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров .

Многочлены Чебышева II рода так же являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров .

Следует так же отметить, что многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра

и есть частный случай весовой функции многочленов Якоби при .