Основные типы кривых Пирсона.

В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.

Тип I.

Пусть æ<0. Тогда

и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: , так что можем записать

.

Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:

,

где

.

Пусть еще

.

Тогда уравнение (1) перепишется в виде

и общий интеграл его можно представим в виде

,

где и значения и должны удовлетворять условиям

.

Тип I получается, если заключается в интервале . Тогда

и

или, как обычно пишут

.

Так как выражаются определенным образом через моменты , то, очевидно, и также выражаются через те же моменты. Для этого введем число

.

Тогда простое преобразование дает следующие формулы:

.

Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.

Далее, пользуясь этими же формулами,

,

следовательно,

.

Затем

,

или, после простых подсчетов,

,

где

.

Таким образом, и представляют корни уравнения

,

Когда найдены и , и находятся по формулам

,

в которых

, .

Здесь использовано равенство

,

которое получается, так мы имеем

,

и

,

следовательно,

,

откуда

(так как ), нужно брать .

Таким образам, и есть корни уравнения

и и по формулам

,

в которых

,

где находится из равенства

.

Остается найти . Оно находится по равенству

.

При помощи подстановки

мы находим:

.

Следовательно,

.

Тип IV.

Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям

0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.

Пусть эти корни равны

,

где

.

Тогда уравнение (1) будет

,

откуда

,

и

,

или

,(3)

причем

.

Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты и константы :

(здесь , и ),

,

где - функция Пирсона, определяемая равенством

.

Интеграл в правой части можно привести к другому виду:

подстановка

приводит его к виду

.

Обычно, полагая

,

пишут в виде

,

где

.

Тип VI.

Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:

(в нем ). Его параметры вычисляются по формулам:

,

причем берется , если и , если ; и дают выражения:

,

причем должно быть ;

,

и

.

Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:

беря за начало координат точку

.

Параметры вычисляются как выше, а имеет теперь такое выражение:

.

Кривая простирается от до , если , и от до , если .