Указания к решению задачи

Задания по курсу «Теория игр»

 

Задание 1. Принятие решений по платёжной матрице

Постановка задачи.

Пусть мы имеем n взаимоисключающих стратегий достижения некоторой цели (например, инвестиционных проектов, организационных мероприятий, планов лечения и т.п.). На момент выбора стратегии её результат не определён и станет известен только после реализации некоторого внешнего сценария, общее число которых равно m. Таким образом, для принятия решения должна быть задана платёжная матрица , где  - результат применения i-й стратегии при последующей реализации j-го сценария, . Выбор наилучшей стратегии может осуществляться по следующим критериям:

 

1. Критерий Вальда: ,.

2. Критерий оптимиста:

3. Критерий Гурвица: ,

4. Критерий Лапласа:

5. Критерий Байеса: ,

Требуется для своей профессиональной предметной области сформировать платёжную матрицу при n=5, m=6. Каждая стратеги и каждый сценарий должны быть обоснованы (а следовательно, обоснованы и все элементы платёжной матрицы). Применить критерии принятия решения и сделать выводы. Необходимо также уметь внести такие изменения в платёжную матрицу, чтобы каждый из вариантов стал наилучшим только по одному из критериев. Значения весовых коэффициентов ограничить значениями  и задать самостоятельно.

Указания к решению задачи

Применение перечисленных критериев к произвольной платёжной матрице, скорее всего покажет, что какой-либо из проектов является наилучшим по нескольким критериям одновременно. Необходимо найти пути обхода таких совпадений.

Контрольные вопросы (30 баллов):

a.   Знание постановки задачи (платёжная матрица, её компоненты и элементы, для чего необходимы критерии принятия решений) – 12 баллов.

b.   Знание критериев принятия решений (способ вычисления критерия, условия его применения) – 8 баллов.

c.    Владение методами управления критериями через платёжную матрицу (внести изменения в платёжную матрицу, обеспечивающие заданное изменение выбора по любому из критериев) – 10 баллов.

 

 

Задание 2. Игра с нулевой суммой в матричной форме

Постановка задачи.

Задать произвольную платёжную матрицу игры 5х6 такой, чтобы она не давала решения в чистых стратегиях. Найти решение игры в смешанных стратегиях для обоих игроков. Можно использовать платёжную матрицу из задания 1.

Указания к решению задачи

Пусть  – матрица игры с положительными элементами, а  и  – оптимальные стратегии игроков X и Y. Пусть также игрок X максимизирует свой выигрыш и . Тогда заменой  поиск  сводится к решению задачи  при ограничениях . Задача, двойственная к ней, позволяет найти .

 

Контрольные вопросы (30 баллов):

a. Знание постановки задачи (определение записи игры в матричной форме, понятие цены игры) – 12 баллов.

b. Решение матричной игры (найти и объяснить решение в смешанных стратегиях как пары взаимно двойственных задач линейного программирования) – 8 баллов.

c. Модификация заданной игры (преобразовать матрицу так, чтоб появились доминируемые стратегии, внести изменения в платёжную матрицу, изменяющие количество стратегий) – 10 баллов.

 

Вопросы  и задачи для контроля знаний по основным темам.

 

Вариант 1.

Знать основные понятия теории игр

1. При принятии решения по платёжной матрице по критерию Вальда ожидается результат, равный

а) наилучшему сценарию

б) наихудшему сценарию

в) взвешенному по наилучшему и наихудшему сценариям

г) среднему результату по всем сценариям

д) среднему по вероятности результату по всем сценариям

2. В задаче нахождения оптимального производственного плана вида <c,x> ® max, Ax ≤ b ограничения-неравенства образуют

а) множество оптимальных решений

б) множество недопустимых решений

в) множество допустимых решений

г) множество двойственных решений

3. Множество действий, из которого может выбирать игрок в рамках заданной игры, называется

а) стратегическим множеством

б) исходом игры

в) равновесием в игре

г) функцией выигрышей (платежей)

4. В матричной игре обязательно выполняется одно из требований:

а) один из игроков имеет бесконечное число стратегий

б) оба игрока имеют бесконечно много стратегий

в) оба игрока имеют одно и то же число стратегий

г) оба игрока имеют конечное число стратегий

5. Открытый аукцион с последовательной подачей заявок, в котором победитель платит заявленную цену, называется

а) аукционом второй цены

б) аукционом первой цены

в) голландским аукционом

г) английским аукционом