Связанных случайных процессов
Пусть X(t) и Y(t) – стационарные и стационарно связанные случайные процессы с . Рассмотрим X(t), Y(t) на [–T, T], , [–2T, 2T]. Запишем через преобразование Фурье с периодом 4 T , (13) . (14) Для рассмотрения при Т → ∞ введем функцию , (15) Dw = . Тогда
Белый шум – стационарный случайный процесс с постоянной спектральной плотностью. Пусть белый шум V(t). Корреляционная функция белого шума: Поскольку , то по формуле (8) . Пусть – импульсная функция. голоморфная функция на замкнутом контуре (в ряд Тейлора)
Это означает, что сечения случайного процесса типа белого шума являются некоррелированными случайными величинами с бесконечными дисперсиями
Это удобная математическая абстракция. В некотором диапазоне частот белый шум реально есть. Рассмотрим случайный процесс V(t) с математическим ожиданием и , – обычная функция. Такой процесс сохраняет свойство некоррелированности различных сечений ( – некоррелированности). Однако он представляет собой нестационарный случайный процесс, поэтому процесс V(t) – нестационарный белый шум и – интенсивность. Можно представить белый шум в виде вектора V (t)=[ V1, V 2, … Vn ]Т . Тогда . Корреляционная матрица , где – матрица интенсивностей. ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМ ОПЕРАТОРОМ Рассмотрим пример одновходной одновыходной одномерной системы. Пусть X(t) – входной сигнал с и . Требуется найти и выходного сигнала Y(t). система управления Таким образом: X(t) Y(t). Это означает, что каждой реализации x(t) сопоставляется y(t) посредством действия на x(t) оператором системы обозначим его А. Тогда Y(t) = А t [X(t)]. С учетом коммутативности линейных операторов E и А t
Многомерный случай (Многовходная многовыходная многомерная система) Пусть X(t) – n-вектор, Y(t) – m-вектор, преобразуется в соответствующим оператором, т.е. , – Коэффициент. Или
где А t – m n матрица операторов. Задача преобразования входных случайных сигналов многомерной системой. Даны статистические характеристики входных сигналов: ; корреляционная функция
Матрица операторов . Требуется найти статистические характеристики входных сигналов: корреляционную функцию Y(t) определяется с учетом коммутативности операторов
взаимные корреляции функций
Формула для математического ожидания E и А: . Формула для корреляционной функции
Формула для взаимнокорреляционной функции Аналогично: Статистические характеристики выходных сигналов Элементарных звеньев Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала суммирующего звена Пусть на вход суммирующего устройства поступает n случайных сигналов с и , . Суммирующее звено осуществляет операцию суммирования входных сигналов и оператор для каждого сигнала равен 1. Тогда ,
В частности, когда входные сигналы являются некоррелируемыми случайными процессами имеет место: Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала дифференцирующего звена
так как , то для (*) ,
Это можно обобщить и на n производных. Заметим, что обычное понятие производной для случайной функции X(t) не применимо. Производная случайной функции X(t) есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента в среднем квадратическом смысле: . Предел в среднем квадратическом (сокращенно) означает, что .
в обычном смысле
Существование и . Пример. Пусть X(t): и . Найти . Решение. , где . При , Лекция 3 Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала интегрирующего звена
Тогда , Пример. – белый шум. Тогда уже другой случайный процесс. Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала усилительного звена ;
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (207)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |