ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ

Задача 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛ МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ

 

Для поперечных сечений 1-1, 2-2, 3-3 заданных упругих систем определить внутренние силы. Для схем:

а) продольные силы N;

б) крутящие моменты M  (или M );

в) продольные силы N, поперечные силы Q , изгибающие моменты М_х;

г) продольные силы N, поперечные силы Q_х, Q , изгибающие моменты М , М , крутящие моменты M  (или M ).

 

Второе число шифра	а м	l м	h м	F кН	M кНм	q кН/м
1	1,2	1,6	1,4	50	40	30
2	1,4	1,8	1,6	60	50	40
3	1,5	1,8	1,7	40	60	50
4	1,6	2,0	1,8	70	60	80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения

Исходные данные

Второе число шифра	а м	м	h м	F Н	M Нм	q Н/м
5	1,1	1,5	1,2	50	40	60

Расчётная схема a )                                               Решение

Для определения продольных сил используем метод сечений. Сечения уже проведены. Рассмотрим каждое из них.

 

Сечение 1-1.

Рассматриваем равновесие правой отсечённой части. Рассмотрение левой отсечённой части невыгодно, так как к ней приложена неизвестная и не показанная на чертеже опорная реакция. Показываем координатную ось z – ов и стрелкой неизвестную силу N. Направление стрелки при этом произвольное. Составляем уравнение равновесия для правой части

, .

Отсюда находим

.

Сечение 2-2

Берём правую отсечённую часть и находим продольную силу

, - N - 3F + F=0,

N = - 2F = - 2·50 = - 100 кН.

Знак минус означает, что действительное направление силы N противоположно показанному на чертеже

Сечение 3-3

,

.

Расчётная схема б)

Пользуясь методом сечений, находим крутящие моменты в сечениях. Чтобы не определять опорную реакцию в заделке на правом конце стержня, будем рассматривать только левые отсечённые части.

 

Сечение 1-1

Проводим в произвольном направлении координатную ось z – ов. Пусть она будет направлена вправо. Изображаем в сечении искомый крутящий момент M_к. Его направление при этом будет произвольным. Составим уравнение равновесия для отсечённой части в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси z – ов.

Отсюда находим крутящий момент в сечении

M_к = M = 40 кНм.

При составлении данного уравнения знак момента принят положительным, если он направлен по часовой стрелке при взгляде справа. Можно принять и обратное правило, по которому такой момент считается отрицательным. Тогда уравнение равновесия имеет вид 

Как можно легко убедиться, отсюда получается тот же ответ, т. е. тот же крутящий момент M_к. Следовательно, при составлении уравнения равновесия правило знаков, принимаемое для момента, не влияет на ответ. Поэтому можно принимать любое правило знаков для моментов. Но, разумеется, одно и то же правило должно применяться до конца составления уравнения.

Сечение 2-2

Действуя аналогично предыдущему случаю, имеем

M_к = - 2M + M = - M = - 40 кНм.

Знак минус в ответе указывает на то, что крутящий момент в сечении, показанный на чертеже, в действительности направлен в противоположную сторону.

Сечение 3-3

М_к = М - 2М + 3М = 2М = 2·40=80 кНм.

Расчётная схема в)

Показываем координатные оси z, y. Положение начала координат при этом не имеет значения. На чертеже указываем опорные реакции R₁, R₂, R₃. Их направления избраны произвольно. Для их вычисления можно использовать уравнения равновесия. Удобно взять в качестве первого из них равенство нулю суммы моментов относительно точки A, так как содержит лишь одну неизвестную опорную реакцию R₁

 

При составлении этого уравнения для моментов, направленных по часовой стрелке, принят знак плюс. Отсюда находим

Далее используем равенства нулю сумм проекций на координатные оси

.

Приступим к определению внутренних сил в сечениях.

Сечение 1-1

Удобнее рассмотреть левую отсечённую часть. Намечаем оси y, z. Ось х-ов перпендикулярна чертежу и не показана. Отмечаем на рисунке внутренние силы N, Q_y, M_x произвольных направлений. Для их определения используем уравнения равновесия для отсечённой части.

      .

    

Сечение 2-2

Рассматриваем нижнюю отсечённую часть. Показываем оси y, z, внутренние силы N, Q_y, M_x. Определяем внутренние силы.

 

 

.

.

.

Сечение 3-3

Теперь выгодно рассмотреть правую отсечённую часть. На схему наносим координатные оси y, z, внутренние силы N, Q_y, M_x.. Используя уравнения равновесия, определяем внутренние силы.

 

      

   

Расчётная схема г)

Показываем координатные оси x, y, z, общие для всей расчётной схемы. В шарнирно-неподвижной опоре возникают три опорные реакции R₁, R₂, R₃. намечаем опорные реакции R₁, R₂, R₃. Остальные опоры шарнирно-подвижные, поэтому в них возникает по одной опорной реакции: R₄, R₅, R₆. Направления реакций выбираются произвольно. С целью определения опорных реакций составим уравнения равновесия всей системы.

1)

2)

3)

4) ,

5)

6) .

Из 6): .

Пользуясь остальными уравнениями, последовательно получим

Из 2): .

Из 4):

Из 3):

Из 5):

Из 1):

 

 

Теперь можно приступить к вычислению внутренних сил в сечениях.

Сечение 1-1

Выбираем левую отсечённую часть. Показываем для неё координатные оси и внутренние силы. Их направления произвольные. В отличие от ранее избранных, теперь координатные оси локальные, т. е. свои для данной отсечённой части. С помощью уравнений равновесия находим внутренние силы.

1) , кН.

2) , .

3) .

4) ,

                 

5)

6) .

Сечение 2-2

Производим действия, аналогичные приведенным выше для сечения 1-1, и находим

1) ,

2)

3)

4) ,

5) ,

6)

Сечение 3-3

Действуя как в предыдущих случаях, получим

1) ;

2) ; .

3)

4) , .

5) .

6) .

Задача 2

РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ

ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ

Прямолинейный упругий ступенчатый стержень нагружен вдоль оси равномерно распределенной нагрузкой q и сосредоточенными силами F_i. Модуль упругости материала Е = 210 ГПа, предел текучести материала s_т.

Вычислить продольную силу N, напряжения в поперечных сечениях s, относительную линейную деформацию e и перемещения u для характерных сечений; построить эпюры N, s, e, u; проверить прочность конструкции методом допускаемых напряжений.

Второе число шифра	q кН/м	F1 кН	F2 кН	σТ МПа	nT	l м	A cм2
1	18	15	20	240	1,6	1,0	2,0
2	12	24	14	280	1,4	1,5	1,8
3	18	30	20	300	1,5	1,2	1,6
4	12	14	26	340	1,7	1,8	1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения

 

Исходные данные

 

Второе число шифра	q кН/м	F1 кН	F2 кН	σТ МПа	nT	l м	A cм2
5	12	16	14	270	1,5	1,0	2,0

Расчётная схема и эпюры

Решение

На рисунке показываем координатную ось z - ов с началом на левом конце стержня, направленную вправо. В заделке правого конца возникает опорная реакция R. Она единственная, поскольку все силы, приложенные к стержню, направлены вдоль одной прямой, в данном случае вдоль продольной осевой линии стержня. Она войдет в уравнения равновесия, поэтому вычислим её. Направление вправо, показанное на чертеже, выбрано произвольно. Истинное направление будет найдено в ходе вычислений.

В целом стержень находится в равновесии. Поэтому система сил, приложенных к нему, включая и опорную реакцию, должна удовлетворять уравнению равновесия

      .

Отсюда находим

Знак минус, полученный в ответе, означает, что истинное направление реакции R противоположно направлению, выбранному на схеме.

Стержень вдоль длины имеет четыре участка. Обозначим их на расчётной схеме. Для определения продольных сил далее применим метод сечений. С этой целью внутри каждого участка, в произвольном месте, проводим поперечные сечения 1-1, 2-2, 3-3, 4-4. В результате стержень каждый раз разделяется на левую и правую части. Уравнение равновесия любой из них даёт значение продольной силы и её направление. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1 участок .   z [0; l].

Возьмём для рассмотрения левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньшее количество сил. Укажем ось z – ов с началом на левом конце и продольную силу N. Её лучше направлять в положительную сторону, что в данном случае означает направление на растяжение, т. е. направо. Удобство такого приёма состоит в том, что при его применении автоматически получается ответ, учитывающий правило знаков для продольной силы.

Составим уравнение равновесия для отсечённой части

     F₁ + N = 0.

Отсюда имеем

N = - F₁ = - 16 кН.

Полученный в ответе знак минус означает, что направление продольной силы, показанное на рисунке, не соответствует истинному, т. е. она направлена влево, на сжатие.

Для построения эпюры N проводим её нулевую линию параллельно продольной оси стержня. Полученный результат является постоянной отрицательной величиной. Поэтому на эпюре ей соответствует горизонтальная линия, проведенная ниже нулевой линии на расстоянии, отложенном в выбранном масштабе. Знак минус на таком рисунке указывается в кружочке, сама эпюра штрихуется перпендикулярно нулевой линии, т.е. вертикально. В избранном масштабе штриховые линии изображают значения продольных сил в сечениях. Поэтому штриховать эпюры следует строго вертикально (не горизонтально, не наклонно).

Теперь найдём нормальные напряжения

Здесь при подстановке чисел в формулу следует перейти к единицам измерения в системе СИ:

1 кН = 10³ Н,         1 см² = 10^{-4 м2}.

Перейдём к определению относительных деформаций. По закону Гука

В таком же порядке рассматриваются и другие участки.

2 участок.            z [0; l].

Такие же действия, как для первого участка, приведут к следующим результатам.

.

.

Получена линейная функция. Поэтому эпюра будет прямолинейной. Достаточно найти две её точки.

N(0) = - 16 кH.

Знак минус означает, что избранное направление стрелки не соответствует действительному, т. е. здесь сила направлена влево, к сечению, на сжатие.

N(l)= -16 + 24·1 = 8 кH.

По полученным двум числам строим эпюру продольной силы для данного участка в виде прямой наклонной линии.

Найдём нормальные напряжения. В общем виде имеем линейную функцию

Определим её значения в двух точках. На левом конце участка

.

На правом конце

.

Соответствующие относительные деформации

3 участок.    z [0; l].

Здесь целесообразно рассматривать правую отсечённую часть. Ось z-ов направляем произвольно, вправо. Продольную силу N изображаем в виде стрелки, направленной влево, в положительную сторону, т.е. на растяжение.

Знак плюс, полученный здесь, означает, что продольная сила по направлению совпадает с показанным на рисунке, т.е. направлена от сечения, налево, на растяжение.

Получен результат в виде постоянной величины. Поэтому на эпюре будет горизонтальная линия, отложенная от нулевой в том же масштабе, как для предыдущих участков.

Нормальные напряжения в поперечном сечении

Относительные деформации   .

4 участок.     

Составляем уравнение равновесия и находим продольную силу

Нормальные напряжения

Соответствующие относительные деформации

.

Перейдём к определению перемещений. С этой целью по длине стержня намечаем характерные точки a, b, c, e, f, для которых будем вычислять перемещения.

Они совпадают с границами участков. На втором участке действует распределённая нагрузка. Здесь эпюра перемещений будет криволинейной. Поэтому для её построения нужна ещё одна дополнительная точка. В качестве таковой изберём точку d, где  N, ,  равны нулю. Перемещение в этой точке экстремальное (max или min) для этого участка. Найдём её положение, приравнивая продольную силу к нулю

.

Отсюда имеем

.

Теперь можно приступить к непосредственному определению перемещений точек.

,  так как точка а закреплена, неподвижна.

Перемещение точки b  равно удлинению четвёртого участка стержня, т.е.

.

Перемещение точки c равно сумме деформаций третьего и четвёртого участков

.

Перемещение u_b уже найдено, поэтому

.

Перемещение точки d равно сумме

,

где  - удлинение участка cd. На этом участке относительная деформация переменная величина, поэтому его удлинение равно площади треугольника на эпюре , т.е.

Таким образом,

.

Аналогично определяются перемещения точек e и f

Прочность конструкции проверим методом допускаемых напряжений. Условие прочности имеет вид

 

Допускаемое напряжение

Максимальное по модулю значение нормального напряжения в сечениях стержня = 80 МПа. Следовательно, условие прочности выполняется. Делается вывод: «Прочность конструкции обеспечена».

Задача 3