РАСЧЁТ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ПРОЧНОСТЬ И

ЖЁСТКОСТЬ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ

Шарнирно–стержневая система, состоящая из упругих тяг, нагружена сосредоточенной нормативной силой F_н. Предел текучести материала s_т, модуль упругости Е. Коэффициенты надёжности: по нагрузке – γ_f, по материалу - γ_m, по условию работы - γ_c, по ответственности - γ_n.

Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить требуемые площади поперечных сечений тяг, вычислить полное перемещение точки приложения силы F по второму предельному состоянию. Изобразить деформированное состояние системы.

Пример решения

Исходные данные

Расчётная схема                                   Решение

Обозначим номера стержней 1, 2, узел В (рис. 1). Расчёты на прочность требуют предварительного определения продольных сил в тягах. Воспользуемся методом сечения и вырежем узел В (рис. 2). Укажем оси х, у.

Расчёты по вычислению перемещения точки В будут проводиться по второму предельному состоянию. Поэтому в качестве нагрузки пока оставим заданную нормативную силу F_н. Покажем на схеме оси x и у, продольные силы N₁, N₂. При этом целесообразно направления сил избрать положительными, т. е. на растяжение. Воспользуемся уравнениями равновесия

ΣХ = 0, -N₁ cos 60° - N₂cos 50° = 0,

ΣY = 0, N₁ cos 30° - N₂cos 40° - F_н = 0.

После подстановки чисел уравнения примут вид

 - 0,5N₁ – 0,643N₂ = 0,    0,866N₁ – 0,766N₂ = F_н.

Отсюда

N₁ = 17,10 кH, N₂ = - 13,30 кH.

Знак минус в ответе означает, что сила N₂ имеет направление, противоположное изображённому на схеме, и будет сжимающей силой.

Найдены нормативные усилия. Для расчётов на прочность потребуются их расчётные значения и нормативное сопротивление материала. Расчётные значения получим, умножая нормативные величины на коэффициент надёжности по нагрузке:

N_1р = N₁ γ_f = 17,10 · 1,2 = 20,52 кН, N_2р = N₂ γ_f = -13,30 · 1,2 = - 15,96 кН.

Нормативное сопротивление равно пределу текучести, т. е. R_н = s_T = 320 МПа. Расчётное сопротивление материала вычислим по соответствующей формуле

Требуемые площади поперечных сечений стержней найдутся из условия прочности. Для первого стержня оно имеет вид

                                          (1)

где A₁ – искомая площадь сечения. Определим её из (1)

 = 58,38 · 10^-6 м² = 58,38 мм².

Аналогично вычисляется и площадь сечения второго стержня

 = 37,84 · 10^{-6 м2} = 37,84 мм².

Перемещение точки B зависит от деформации тяг. Определим их по формуле закона Гука при нормативных значениях усилий в сечениях стержней

∆l =  = 0,00264 м  = 2,64 мм,

∆a =  =  - 0,00211 м = - 2,11 мм.

Выполним геометрические построения, связанные с деформацией стержней и перемещением шарнира В (рис. 3). Продлим прямую вдоль стержня 1 и на ней отложим отрезок ВL, равный удлинению Δl. Стержень 2 сжимается, поэтому его деформация получена со знаком минус, откладываем Δа в сторону укорочения на самом стержне 2, т. е. в виде отрезка ВK. Шарнир В должен переместиться в точку пересечения дуг, описанных из центров D, С (рис. 1) и проходящих через точки L и K. Поскольку деформации малы, (в данном случае порядка двух мм), дуги окружностей заменяем перпендикулярами к стержням, и они пересекаются в точке B'.

Задача далее состоит в том, чтобы найти перемещение BB'. Для её решения из точек B и B' проведём горизонтальную и вертикальную составляющие u и v.

Простые геометрические соображения позволяют записать соотношения

                          Δl = BL = BH + LH = v cos 30˚ + u sin 30˚,

|Δa| = KB = BG - KG = v cos 40˚- u cos 50˚.                           (3)

Нетрудно заметить, что они образуют линейную алгебраическую систему относительно u и v

 0,866 v + 0,5 u = 2,64,

0,766 v - 0,6428 u = 2,11.

При составлении равенства (3) длина отрезка GA должна иметь положительное значение, поэтому деформация Δa берётся по модулю. Решение системы уравнений даёт

v = 2,92 мм,         u = 0,21 мм.

Из прямоугольного треугольника BB'L находим

BB' =  = 2,93 мм.

Задача 4