ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГО – ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАТИЧЕСКИ

НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

(учебно-исследовательская работа)

Шарнирно-стержневая система состоит из тяг,  материал которых является идеально упруго-пластическим, и абсолютно жёсткого бруса.

Используя ЭВМ, требуется исследовать поведение системы в зависимости от значения угла aÎM = {a:aÎ[0^о, 80^о]} и величины силы F > 0. С этой целью необходимо:

I.Получить теоретические формулы для:

1.Силы F = F_т, при достижении которой в одной из тяг начинаются пластические деформации, и соответствующих ей значений продольных сил в тягах  N_1Т, N _2Т   и перемещений  d_BТ;

2.Предельной нагрузки F = F_пр и перемещения  d_Bпр=d_B (F_пр– 0);

3.Продольных сил N₁₁, N₂₁ и перемещения d_B1 от силы F₁= 0,5(F_т + F_пр);

4.Продольных сил N₁₂, N₂₂ и перемещения d_B2, возникающих в упругой системе от силы разгрузки F₂ =- F₁;

5.Остаточных продольных сил N_1о, N_2о и перемещения d_Bо, возникающих в системе при нагружении силой F₁ и последующей разгрузке.

II. Составить и отладить компьютерную программу в табличном редакторе Excel, вычисляющую все величины, указанные в п.1, при изменении угла a с шагом 10°. Результаты счёта выдать на печать в виде таблицы, содержащей a, F_т, N_1T, N_2Т, d_BТ, F_пр,  d_Bпр, F₁, N₁₁, N₂₁, d_B1, N₁₂, N₂₂, d_B2, N_1о, N_2о, d_Bо.

III. Построить графики функций:

1. F_т (a), F_пр (a), N_1о (a), N_2о (a), d_Bо (a); a Î M;

2. N₁(F), N₂(F), d_B(F); a=a₀, сила F возрастает от 0 до F = F_пр+ 0 и убывает от F₁ до 0.

IV. Указать значение угла a = a*, при котором система является оптимальной по грузоподъёмности, т.е. F_пр (a*) = F_пр (a).

V. Изобразить на рисунке деформированное состояние системы.

Примечание 1: Если в расчётной схеме задачи абсолютно жёсткий брус отсутствует, то подчёркнутое во второй строке условия задачи пропускается, в противном случае не подчеркивается.

 

Второе число шифра	l м	A мм2	sT МПа	E ГПа	a град.	nт
1	1,2	200	250	200	20	1,6
2	1,3	210	330	200	40	1,8
3	1,4	220	240	210	50	2,0
4	1,5	230	360	210	70	2,2

Примечание 2: Расчётные схемы задачи 6 совпадают с расчётными схемами задачи 5, данными выше, поэтому повторно не приводятся.

Пример решения

Исходные данные

Второе число шифра	l м	A мм2	sT МПа	E ГПа	a0 град.
5	1	240	250	200	20

       Расчётная схема                                            Решение

    На расчётной схеме обозначим номера стальных тяг 1, 2, опорные реакции R_1,  R_2,  R_3, R_{4 ,} точки С, G.

I.Теоретические формулы

Значение силы F_Т найдётся из условия

 |s_i| = s_T,

где s_i - нормальные напряжения в поперечных сечениях тяг, получаемые из «упругой» задачи. Для их определения сначала найдём опорные реакции R₁, R₂, затем продольные силы N₁, N_2.

     В данной плоской упругой системе возникают 4 опорные реакции, в то время как для их определения имеются лишь 3 уравнения равновесия. Поэтому она является один раз статически неопределимой. Степень статической неопределимости определяется как разница  4 – 3 = 1.

  Нет необходимости находить опорные реакции R₃ и R₄, так как они в дальнейших расчётах не применяются. Поэтому определим лишь R₁ и R₂. Составим уравнение равновесия. Но из всевозможных уравнений равновесия выберем равенство нулю суммы моментов относительно точки G, так как оно содержит именно те неизвестные опорные реакции R₁, R₂, которые необходимы в расчётах. Другие уравнения равновесия не составляем, так как они содержат   R₃, R₄. Итак, имеем

å М_G = 0,          R₁a+ R₂cosa 2a – F 2a = 0.

Сократим на а и получим

R₁+ 2R₂cosa = 2F.                                                 (1)

К уравнению (1) необходимо добавить второе уравнение, содержащее те же неизвестные R₁, R₂. Для его составления покажем на рисунке деформированное состояние конструкции (пунктирные линии). Обозначим точки C, C΄, D. Ввиду малости деформаций перемещения BB΄, CC΄- считаются вертикальными, C΄D^CD, BB΄= Dl₁, CD = Dl₂. Из подобия треугольников GBB΄ и GCC΄ следует

Þ 2BB'=CC', т.е. 2Dl₁ = Dl₂ /cosa                 (2)

По закону Гука                         

Dl₁ = ,               Dl₂ = .    

 Подставим в (2) и запишем

=           или       R₂ = 2R₁cosa.             (3)

(1) и (3) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно  R₁ и  R₂. Решая, получим

R₁  = ,                      R₂ = .

Обозначим 

c₁ = cos a, c₂ = 2/(1+4cos²a), l₁ = l / EA.

Найдём продольные силы

N₁ = R₁ = Fc₂,                   N₂ = - R₂  = - 2Fc₁c₂                              (4)

и перемещение точки B

d_B = Dl₁ =      = N₁l₁ .                                                               (5)

  Теперь можно найти формулы для нормальных напряжений в поперечных сечениях тяг

s₁ = N₁/A = Fc₂/A = s₀c₂,  s₂ = N₂/A = -2Fc₁c₂/A = -2s₀c₁c₂,           (6)

где s₀ = F/A.

   При малых значениях угла a (например, 0) | s₂ | > s₁, поэтому пластические деформации при возрастании силы F возникнут раньше во втором стержне. При больших значениях угла a   s₁ > | s₂ |, поэтому пластические деформации раньше начнутся в первом стержне. Некоторое значение a = a₁ , при котором s_{1 = |} s_{2 |},  разделяет эти два случая. Найдём его, приравнивая напряжения (6) без учёта знака минус

s₀ с₂ = 2s₀с₁с₂, 1 = 2c₁, c₁ = 0,5 Þ a = a₁ =60 ^o.

Таким образом, множество конструкций М будет иметь два подмножества, т.е. М = М₁   М₂. Конкретно 

M₁ = { a Î [ 0^o, 60^o ] },      _| s_{2 | ³} s_{1 ,}

M₂ = { a Î [ 60^o, 80^o ] },  s_{1 ³ |} s_{2 | .}

  В зависимости от того, какому подмножеству принадлежит a, формулы для определения F_Т будут разными.

 a Î M₁:

| s₂ |   ₌ s_T   Þ    = s_T.

Отсюда    

F = F_Т = s_TA/2c₁c₂ .

Обозначим S = s_TA и получим

F_T = S/2c₁c_2.                                              (7)

a Î M₂ :                                                                                

s_{1 =} s_T  Þ   = s_T.              

Отсюда                          

F = F_Т = S / c₂.                                               (8)

После того, как будет найдена сила F_T по одной из формул (7), (8), можно вычислить соответствующие продольные силы в тягах и перемещение точки B по формулам (4), (5)

N_1T = N₁ (F_T ) = F_T c₂,    N_2T = N₂ (F_T ) = -2F_T c₁ c₂,      d_BT = N_1T l₁.

При достижении силой F предельного значения, т.е. при F = F_пр, в обеих тягах напряжения будут равны пределу текучести  s_T

s1 = sT,         s2 = - sT .

 

 

И тогда продольные силы имеют значения    

N₁  = S,    N₂  = - S .

Здесь и далее на рисунках стержни, в которых уже наступила текучесть, заштрихованы. Найдём предельную нагрузку F_пр. Составим уравнение равновесия

å М_G = 0,     N₁ а - N₂ c₁ 2а – F_пр2а = 0,     т.е.    S + 2Sc₁ = 2F_пр.

Отсюда 

                    F_пр = S (1+2с₁) / 2.                                                                              (9)

  Перемещение d_Bпр =  d_B(F_пр – 0) вычисляется при F = F_пр – 0. Это означает, что один из стержней уже «течёт», а другой продолжает оставаться в упругой стадии деформирования, хотя находится на «пределе», т.е. накануне текучести. К этому стержню ещё можно применять закон Гука. Из описанного следует, что формулы для подмножеств М₁  и М₂ будут разными.

      a Î М₁:  Стержень 1 является упругим, в стержне 2 наступили пластические деформации. Следовательно,

 

d_Bпр = N₁ l₁ = Sl_1.

      a Î М₂: Стержень 2 является упругим, а стержень 1 находится в состоянии пластического деформирования. Поэтому перемещение точки B вычисляется с помощью деформации стержня 2.

d_Bпр = CC΄ / 2 = Dl₂ /2с₁ = N₂ l₁ / 2с₁ = S l₁ / 2с_{1 .}

Возьмём теперь значение силы промежуточное между F_T и F_пр

F₁ = 0,5(F_T + F_пр).

Ему соответствует такое деформированное состояние тяг, когда одна из них уже «течёт», а другая работает упруго. Какими из них конкретно являются стержни 1 и 2, зависит от рассматриваемого подмножества конструкций.

a Î М₁: |s₂ | ³ s_1. Тяга 2 «течёт», тяга 1 остается упругой.

s₂ = -s_T Þ N₂₁ = -s_TA  = -S.

Найдём N₁₁ из уравнения равновесия

åМ_G = 0, N₁₁а - N₂₁c₁ 2а– F₁2а = 0.                                   (10)

Отсюда  

N₁₁ = 2 N₂₁ c₁  + 2F₁ = 2 (N₂₁ c₁ + F₁).

Cиле F₁ соответствует перемещение точки B

d_B1 = Dl₁ = N₁₁ l_1.

a Î М₂:   s₁  ³ |s₂ |_. Тяга 1 «течёт», тяга 2 остается упругой.

s1 = sT Þ N11 = sTA  = S. Найдём N21 из уравнения равновесия (10)

N21 = (N11  - 2F1) / 2 c1,

 

 

δ_B1 = CC΄ / 2 = Dl₂ / 2с₁ = | N₂₁| l₁ / 2с_{1 .}

  Разгрузка (уменьшение силы F₁ до значения 0) эквивалентна приложению силы F₂ = - F₁ в обратном направлении. Поэтому в стержнях при разгрузке возникают новые напряжения обратного знака: в 1 – сжимающие, в 2 – растягивающие. Точка B при этом перемещается вверх. Продольные силы и перемещение будут определяться как при деформировании в упругой стадии по формулам (4) и (5)

N₁₂ = F₂ c₂ , N₂₂ = -2F₂ c₁ c₂ , d_B2 = N₁₂ l₁

Остаточная продольная сила в тяге 1 получается путём суммирования продольных сил от нагрузок F₁ и F₂, т.е.

 

N_1о = N₁(F₁ ) + N₁(F₂ ) = N₁₁ + N₁₂.

Аналогично

N_2о = N₂₁ + N₂₂,             d_Bо = d_B1 + d_B2.

По полученным формулам редактор Excel дал результаты счёта, представленные в таблице.

Идентификаторы переменных в программе приняты близкими к обозначениям в тексте решения задачи (насколько позволяет интерпретатор системы Excel), поэтому пояснения к таблице не приводятся. Во избежание возникновения в результатах вычислений слишком больших или слишком маленьких чисел, при присвоении численных значений идентификаторам программы для исходных значений применены единицы измерения: l – мм,  A – мм²,  s_T – кН/мм²,  E – кН/мм². Как следствие, вычисленные компьютером силы измеряются в кН, а перемещения – в мм.

 

 

II. Результаты счёта в табличном редакторе Excel

a	градус	0	10	20	30	40	50	60	70	80
c1		1,000	0,985	0,940	0,866	0,766	0,643	0,500	0,342	0,174
c2		0,400	0,410	0,441	0,500	0,597	0,754	1,000	1,362	1,785
Fт	кН	75,00	74,32	72,34	69,28	65,54	61,90	60,00	44,04	33,62
N1т	кН	30,00	30,46	31,93	34,64	39,16	46,67	60,00	60,00	60,00
N2т	кН	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-41,04	-20,84
dВт	мм	0,625	0,635	0,665	0,722	0,816	0,972	1,250	1,250	1,250
Fпр	кН	90,00	89,09	86,38	81,96	75,96	68,57	60,00	50,52	40,42
dВпр	мм	1,250	1,250	1,250	1,250	1,250	1,250	1,250	1,827	3,599
F1	кН	82,50	81,70	79,36	75,62	70,75	65,24	60,00	47,28	37,02
N11	кН	45,00	45,23	45,96	47,32	49,58	53,34	60,00	60,00	60,00
N21	кН	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-60,00	-50,52	-40,42
dВ1	мм	0,938	0,942	0,958	0,986	1,033	1,111	1,250	1,539	2,425
F2	кН	-82,50	-81,70	-79,36	-75,62	-70,75	-65,24	-60,00	-47,28	-37,02
N12	кН	-33,00	-33,49	-35,02	-37,81	-42,27	-49,18	-60,00	-64,42	-66,07
N22	кН	66,00	65,96	65,82	65,49	64,77	63,23	60,00	44,06	22,95
dВ2	мм	-0,688	-0,698	-0,730	-0,788	-0,881	-1,025	-1,250	-1,342	-1,376
N1о	кН	12,00	11,74	10,94	9,51	7,31	4,15	0,000	-4,42	-6,07
N2о	кН	6,00	5,96	5,82	5,49	4,77	3,23	0,000	-6,46	-17,47
dВо	кН	0,250	0,245	0,228	0,198	0,152	0,086	0,000	0,197	1,048

III. Графики функций

По результатам счёта на ЭВМ строим графики функций.

 

 

 

Следует обратить внимание на то, что первые четыре графика построены с использованием всей таблицы результатов вычислений, а последние два – по данным, полученным лишь при значении угла α = α₀ = 20°.

 

IV. Оптимальная система

По таблице и графику F_пр(a) очевидно, что

 

 F_пр (0) = F_пр (a) Þ a* = 0^o .

Это означает, что при нулевом значении угла наклона второй тяги, т.е. её вертикальном расположении, конструкция является оптимальной по грузоподъёмности.

Задача 7