НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Шарнирно-стержневая система состоит из тяг, материал которых является идеально упруго-пластическим, и абсолютно жёсткого бруса. Требуется:

1.Вычислить силу F = F_т, при достижении которой в одной из тяг начинаются пластические деформации, и соответствующие ей значения продольных сил в тягах N_1Т, N_2Т и перемещения d_BТ точки B;

2.Вычислить предельную нагрузку F = F_пр и соответствующие ей значения продольных сил в тягах N_1пр, N_2пр и перемещения d_Впр= d_В(F_пр–0).

3.Определить допускаемую нагрузку из расчётов по допускаемым напряжениям и разрушающим нагрузкам и сравнить результаты.

4.Построить графики функций: N₁(F), N₂(F), d_B(F); когда сила F возрастает от 0  до  F = F_пр+ 0.

5.Изобразить на рисунке деформированное состояние системы.

Примечание: Если в расчётной схеме задачи абсолютно жёсткий брус отсутствует, то подчёркнутое во второй строке условия задачи пропускается, в противном случае пишется без подчерка.

Пример решения

Исходные данные

Расчётная схема                                                Решение

    На расчётной схеме обозначим номера стальных тяг 1, 2, опорные реакции R_1,  R_2,  R_3, R_{4 ,} точки  С, G.

Значение силы F_Т найдётся из условия

 |s_i| = s_T,

где s_i - нормальные напряжения в поперечных сечениях тяг, получаемые из «упругой» задачи. Для их определения сначала найдем опорные реакции R₁, R₂, затем продольные силы  N₁, N_2.

В данной плоской упругой системе возникают 4 опорные реакции, в то время как для их определения имеются лишь 3 уравнения равновесия. Поэтому она является один раз статически неопределимой. Степень статической неопределимости определяется как разница  4-3=1.

Нет необходимости находить опорные реакции R₃ и R₄, так как они в дальнейших расчётах не применяются. Поэтому определим лишь R₁ и R₂. Составим уравнение равновесия. Но из всевозможных уравнений равновесия выберем равенство нулю суммы моментов относительно точки G, так как оно содержит именно те неизвестные опорные реакции R₁, R₂, которые необходимы в расчётах. Другие уравнения равновесия не составляем, так как они содержат   R₃, R₄. Итак, имеем

å М_G = 0,          R₁a+ R₂cosa 2a – F 2a = 0.

Сократим на а и получим

R₁+ 2R₂cosa = 2F.                                                 (1)

К уравнению (1) необходимо добавить второе уравнение, содержащее те же неизвестные R₁, R₂. Для его составления покажем на рисунке деформированное состояние конструкции (пунктирные линии). Обозначим точки C΄, D. Ввиду малости деформаций перемещения BB΄, CC΄- считаются вертикальными, C΄D^CD, BB΄= Dl₁, CD = Dl₂. Из подобия треугольников GBB΄ и GCC΄ следует

Þ 2BB'=CC' , т.е. 2D l₁ = Dl₂ /cosa.            (2)

По закону Гука

Dl ₁ = ,               Dl₂ = .    

Подставим в (2) и запишем

=           или       R₂ = 2R₁cosa.             (3)

(1) и (3) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно  R₁ и  R₂. Решая, получим

R₁  =   ,                      R₂ =  .

Обозначим 

c₁ = cos a = cos 20˚ = 0,9397,     c₂ = 2/(1 + 4 cos²a) = 2/(1 + 4· 0,9397²) = 0,4413, 

l₁ = l / EA = 1 / 200 · 10⁹ · 240 · 10^-6 = 2,083 · 10^{-8 м / Н.}

Найдём продольные силы

N₁ = R₁ = Fc₂,                   N₂ = - R₂  = - 2Fc₁c₂                 (4)

и перемещение точки B

d_B = Dl ₁ =   = N₁l₁.                                                            (5)

  Теперь можно найти формулы для нормальных напряжений в поперечных сечениях тяг

s₁ = N₁/A = Fc₂/A = 0,4413 F/A,  s₂ = N₂/A = -2Fc₁c₂/A = - 0,8294 F/A.     (6)

Из сравнения видно, что  напряжение во второй тяге по абсолютному значению больше, чем в первой, т. е.  | s₂ | > s₁, поэтому пластические деформации при возрастании силы F возникнут раньше во втором стержне. Найдём формулу для определения F_Т. С этой целью приравняем большее из напряжений по модулю к пределу текучести материала

| s₂ |   =   s_T

или что, то же самое

0,8294 F/A = s_T.

Отсюда

F = F_Т = s_TA / 0,8294 = 250 · 10⁶ · 240 · 10^-6 / 0,8294 = 72340 Н = 72,34 кН.

Этому значению нагрузки соответствуют продольные силы в тягах, определяемые формулами (4)

N_1Т = 72,34 · 0,4413 = 31,92 кН, N_2Т = - 2 · 72,34 · 0,9397 · 0,4413 = - 60 кН

и перемещение точки B, вычисляемое формулой (5)

d_BТ = N_1Тl₁ = 31920 · 2,083 ·10^-8 = 0,665 · 10^{-3 м = 0,665 мм.}

По значению силы F_Т можно найти допускаемое значение

[F]_т = F_Т / n_Т = 72,34 / 1,6 = 45,21 кН.

  Такой метод расчётов называется расчётом по допускаемым напряжениям. Второй и более точный метод расчётов – это расчёт по разрушающим нагрузкам (другое название - расчёт по несущей способности). Предельное состояние или исчерпание несущей способности системы наступит при достижении силой F предельного разрушающего значения, т.е. при F = F_пр, когда в обеих тягах напряжения будут равны пределу текучести  s_T

s₁ = s_T,         s₂ = - s_T.

Тогда продольные силы достигнут предельных значений т. е. оба стержня «потекут»

N_1пр  = s_T A = 250·10⁶ · 240 · 10^-6 = 60000 Н = 60 кН, N_2пр = - s_T A = - 60 кН.

Здесь на рисунке стержни, в которых уже наступила текучесть, заштрихованы.

Найдём предельную нагрузку F_пр. Составим уравнение равновесия

å М_G = 0,     N_1пр а - N_2пр c₁ 2а – F_пр2а = 0, 60 + 2 · 60 c₁ =2F_пр.

Отсюда                          

F_пр = 60 (1+2с₁) / 2 = 60 (1 + 2 · 0,9397) = 86,38 кН.

[F]_пр = F_пр / n_Т = 86,38 / 1,6 = 53,99 кН.

Разница результатов, полученных двумя методами расчётов на прочность составляет

Перемещение d_Bпр =  d_B(F_пр – 0) вычисляется при F = F_пр – 0. Это означает, что вторая тяга уже «течёт», а первая продолжает оставаться в упругой стадии деформирования, хотя находится на «пределе», т.е. накануне текучести, так что N₁ = 60 кН. К первой тяге ещё можно применять закон Гука. Следовательно,

d_Bпр = 60000 · 2,083 ·10^-8 = 1,25 · 10^{-3 м = 1,25 мм.}

По результатам вычислений построены графики функций (рис. 3, 4): N₁(F), N₂(F), d_B(F); когда сила F возрастает от 0  до  F = F_пр+ 0.

Задача 6