Виды движения жидкостей
Рис.1. Линия тока
1. Установившееся и неустановившееся движение. Установившимся называют такой вид движения жидкости, при котором скорости частиц потока, а так же плотность, температуры, давления и другие факторы не изменяются во времени в каждой фиксированной точке пространства. При неустановившимся движении, в отличие от установившегося, факторы, влияющие на движение жидкости, изменяются во времени. 2. Равномерное и неравномерное движение. Равномерным называют такой вид движения, при котором все гидравлические параметры движения – скоро- сти, форма русла, глубина – не изменяются по длине потока. Неравномерное движение характеризуется изменением по длине потока живого сечения и ско- ростей в соответствующих точках. 3. Напорное и безнапорное движение. Напорным называют движение жидко- сти, когда поток не имеет свободной поверхности. Движение, при котором по- ток не со всех сторон ограничен твердыми стенками и имеет свободную по- верхность, называется безнапорным или движением со свободной поверхно- стью.
Уравнение сплошности (неразрывности) потока Условие движения жидкости без образования разрывов (пустот) характеризуется уравнением неразрывности (сплошности), которое выражает закон сохранения массы. Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объёмом dV = dx ×dy ×dz, ребра которого направлены параллельно осям координат (рис.2).
X Y
Рис.2. К определению уравнения неразрывности потока
Пусть составляющая скорости потока вдоль оси Х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dy×dz, равна w X. Тогда через эту грань в параллелепипед войдёт вдоль оси Х за единицу времени масса жидко- сти r wX ×dy ×dz, а за промежуток времени dt - m Х = r× ×wX ×dy ×dz × d t, где r - плот- ность жидкости на левой грани параллелепипеда. На противоположной (пра- вой) грани скорость и плотность могут отличаться от соответствующих вели- чин левой грани и будут равны m + ¶w X X ¶x
× dx и r + ¶r × dx . Тогда через правую грань параллелепипеда за ¶x тот же интервал времени dt выйдет масса жидкости
m = ⎡ r × w + ¶(r × w x ) ⎤ × dx × dy× dz× d t
⎣ ⎦ Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси Х составит:
dm =m -m =-¶(r×w x) ×dx×dy×dz×d t x x x+dx ¶x .
Если составляющие скоростей вдоль осей Y и Z равны w Y и w Z соответст- венно, то значения масс в элементарном объёме вдоль этих осей, по аналогии составят:
dm Y ¶(r × w )
¶y
dm Z = -¶(r × w z ) × dx× dy× dz× d t . ¶z Общее накопление массы в параллелепипеде за время dt равно сумме его приращения вдоль всех осей координат:
dm = ⎡¶(r × w x ) + ¶(r × w y ) + ¶(r × w z )⎤ × dx× dy× dz× d t
Вместе с тем накопление массы в полностью заполненном жидкостью объёме параллелепипеда возможно только вследствие изменения ее плотности. dm= ¶r × dx× dy× dz× d Поэтому ¶t t . Приравняем оба выражения d М и после пре- образований получим:
¶r +(¶(r × w х ) + ¶(r × w y ) + ¶(r × w z )) = 0
¶t ¶x ¶y ¶z . (1)
Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение нераз- рывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. В ус- тановившемся потоке плотность не изменяется во времени ( ¶r / ¶t )=0 и уравне- ние упрощается:
¶(r ×W х ) + ¶(r ×W y ) + ¶(r ×W z ) = 0
¶x ¶y ¶z . (2) Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, r = Const, по- этому из (2) следует: w w х + y ¶x ¶y +w z ¶z = 0. (3)
Уравнение (3) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости. Проинтегрировав уравнение (2) для трубопровода переменного сечения, изображённого на рис. 3, получим r×w ×S = Const , где S – площадь сечения тру- бопровода; w – средняя скорость течения. Тогда для рис.3 имеем:
r 1 × S 1 × w 1 = r 2 × S 2 × w 2 = r 3 × S 3 × w 3. (4)
Выражение (4) - уравнение неразрывности (сплошности) потока в интегральной форме; оно так же называется уравнением постоян- ства расхода. Для капельных жидкостей r = Const поэтому уравнение (4) принимает сле- дующий вид:
S 1 × w 1 =S 2 × w 2 =S 3 × w 3 =Const. (5) Рис.4. Трубопровод переменного сечения
Из уравнения (5) следует, что при уменьшении площади живого сечения при движении несжимаемой жидкости средняя скорость увеличивается, а при увеличении площади – уменьшается.
Дифференциальные уравнения движения Эйлера При движении идеальной жидкости на неё действуют силы инерции, дав- ления и тяжести. Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Вы- делим в нём элементарный параллелепипед объёмом dV =dx ×dy ×dz (рис. 5). Проекции на оси координат сил тяжести и давления составляют:
для оси Х: для оси Y: для оси Z: - ¶p × dx × dy × dz ; ¶x - ¶p × dx × dy × dz ; ¶y - (r × g + ¶p ) × dx × dy × dz . ¶z Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущейся элементарный объём жидкости, равна
p dx Y
Рис.5. К расчету дифференциального уравнения движения Эйлера
произведению массы жидкости на её ускорение. Масса параллелепипеда равна dm = r × dx × dy × dz . Если жидкость движется со скоростью w, то её ускорение равно dw / d t , а его проекции на координатные оси – dw Х / d t, dw У / d t и dw Z / d t , где dw Х , dw У , dw Z – составляющие скоростей вдоль осей X, Y, Z. При
этом производные ¶w X ¶t , ¶w Y ¶t ¶w Z и ¶t
отвечают изменению w Х , w У , w Z только во времени. В соответствии с основным принципом динамики запишем следующую систему уравнений:
r × dx × dy × dz ×
r × dx × dy × dz × dw X d t dw Y d t = - ¶p × dx × dy ¶x = - ¶p × dx × dy ¶y
× dz × dz r × dx × dy × dz × dw Z d t = -(r × g + ¶p)× ¶z dx× dy×dz или r × dw X d t r × dw Y d t r × dw Z d t = - ¶p ¶x = - ¶p ¶y = -r × g - ¶p . ¶x
(6)
Система уравнений (6) называется дифференциальными уравнения дви- жения Эйлера для установившегося потока идеальной жидкости. Производные в левой части (6) называются субстанциональными, для установившегося дви- жения они равны:
dw X d t = ¶w X ¶x × w X + ¶w X ¶y × w Y + ¶w X ¶z × w Z dw Y d t = ¶w Y ¶x × w X + ¶w Y ¶y × w Y + ¶w Y ¶z × w Z dw Z d t = ¶w Z ¶x × w X + ¶w Z ¶y × w Y + ¶w Z ¶z × w Z .
При неустановившимся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частиц потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени. Поэтому при неустановившемся движении в правую часть субстанциональных производных dw X , d t dw Y , d t dw Z дополнительно вводят соответственно d t ¶w X ¶t , ¶w Y ¶t , ¶w Z ¶t .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (281)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |